La topologia di Krull è la topologia che più spesso viene messa sul gruppo di Galois di un'estensione di campi, in modo da renderlo un gruppo topologico. Nel caso di estensioni di Galois finite, tale topologia è solitamente di poco interesse e coincide con la discreta, per cui essa si rivela particolarmente importante nello studio di estensioni di Galois infinite.

Definizione

Indicheremo d'ora in poi con ${\displaystyle L/K}$ l'estensione di campi ${\displaystyle K\subseteq L}$ . Diciamo che ${\displaystyle L/K}$ è di Galois se è un'estensione algebrica normale e separabile, e denotiamo con ${\displaystyle Gal(L/K)}$ il suo gruppo di Galois.

Se ${\displaystyle L/K}$ è di Galois infinita, sia

$${\displaystyle {\mathcal {F))\colon =\lbrace F\quad {\text{campo))|K\subseteq F\subseteq L\quad {\text{e))\quad F/K\quad {\text{finita))\rbrace }$$

l'insieme delle sottoestensioni finite di ${\displaystyle L/K}$.

Possiamo immergere ${\displaystyle Gal(L/K)}$ nel prodotto diretto di gruppi ${\textstyle \prod _{F\in {\mathcal {F))}Gal(F/K)}$ nel seguente modo: per ogni ${\displaystyle F\in {\mathcal {F))}$ sia ${\displaystyle \pi _{F}\colon Gal(L/K)\to Gal(F/K)}$ la mappa che porta ogni automorfismo ${\displaystyle \sigma \in Gal(L/K)}$ nella sua restrizione ${\displaystyle \sigma |_{F}\in Gal(F/K)}$, e sia ${\textstyle \rho \colon Gal(L/K)\to \prod _{F\in {\mathcal {F))}Gal(F/K)}$ la mappa che porta ogni ${\displaystyle \sigma \in Gal(L/K)}$ nella successione delle sue restrizioni agli ${\displaystyle F\in {\mathcal {F))}$, cioè ${\textstyle \rho (\sigma )=(\sigma _{F})_{F\in {\mathcal {F))))$.

Allora, la ${\displaystyle \rho }$ è iniettiva e, per il primo teorema di isomorfismo, la sua immagine è isomorfa a ${\displaystyle Gal(L/K)}$.

Definiamo ora una topologia come segue:

• su ciascun gruppo ${\displaystyle Gal(F/K)}$ mettiamo la topologia discreta;
• sul prodotto ${\textstyle \prod _{F\in {\mathcal {F))}Gal(F/K)}$ mettiamo la topologia prodotto;
• sull'immagine di ${\displaystyle \rho }$ contenuta nel prodotto mettiamo la topologia di sottospazio;

• infine, su ${\displaystyle Gal(L/K)}$ mettiamo la topologia indotta da ${\displaystyle \rho }$ come isomorfismo di gruppi, cioè la meno fine topologia che renda ${\displaystyle \rho }$ un omeomorfismo.

La topologia così ottenuta è la topologia di Krull sul gruppo di Galois.

Una definizione alternativa

La topologia di Krull si definisce, alternativamente, in un modo meno costruttivo e più astratto, tuttavia utile nelle applicazioni.

Sia ${\displaystyle {\mathcal {G))=\lbrace Gal(F/K)|F\in {\mathcal {F))\rbrace }$ la famiglia dei gruppi di Galois delle sottoestensioni ${\displaystyle F\in {\mathcal {F))}$ su ${\displaystyle K}$, la ${\displaystyle {\mathcal {F))}$ definita come sopra. Possiamo dotare la ${\displaystyle {\mathcal {G))}$ di una famiglia di mappe, corrispondenti alle restrizioni degli automorfismi, nel seguente modo: se ${\displaystyle F_{1},F_{2}\in {\mathcal {F))}$ e ${\displaystyle F_{1}\subseteq F_{2))$, allora ${\displaystyle {\text{res))_{F_{1},F_{2))\colon Gal(F_{2}/K)\to Gal(F_{1}/K)}$ porta ogni automorfismo ${\displaystyle \sigma \in Gal(F_{2}/K)}$ in ${\displaystyle \sigma |_{F_{1))}$ la sua restrizione su ${\displaystyle F_{1))$. Si noti che tale restrizione è ben definita, perché ${\displaystyle F_{1}/K}$ è un'estensione normale per ipotesi.

La ${\displaystyle {\mathcal {G))}$, dotata delle mappe di restrizione così definite, diventa un sistema proiettivo. Anche se finora si è parlato solo di gruppi, i ${\displaystyle Gal(F/K)}$ con ${\displaystyle F\in {\mathcal {F))}$ sono in realtà gruppi topologici, se su di essi si mette la topologia discreta. Allora, la ${\displaystyle {\mathcal {G))}$ con le restrizioni è in realtà un sistema proiettivo di gruppi topologici. Il suo limite inverso è un gruppo topologico: come gruppo, si vede essere proprio ${\displaystyle Gal(L/K)}$. La topologia, limite inverso delle topologie discrete sui ${\displaystyle Gal(F/K)\in {\mathcal {G))}$, che risulta posta su ${\displaystyle Gal(L/K)}$ si dice per definizione la topologia di Krull.

Prime proprietà

Si può dimostrare che ${\displaystyle Gal(L/K)}$ con la topologia di Krull è T2, compatto e totalmente sconnesso. Questi risultati derivano facilmente dall'osservazione che una base è data dalle classi laterali ${\displaystyle \sigma _{F}Gal(L/F)}$ dei nuclei delle ${\displaystyle \pi _{F))$.

Altre proprietà importanti sono:

• ${\displaystyle Gal(L/K)}$ è un gruppo topologico con la topologia di Krull, cioè la moltiplicazione e il passaggio all'inversa sono mappe continue;
• un sistema di intorni di ${\displaystyle 1_{Gal(L/K)))$ è dato dai gruppi ${\displaystyle Gal(L/F)}$;
• per continuità del prodotto, segue che un sistema di intorni ${\displaystyle \sigma }$ è dato dai ${\displaystyle \sigma Gal(L/F)}$ al variare di ${\displaystyle F\in {\mathcal {F))}$.