In topologia, la topologia quoziente è intuitivamente quella ottenuta da uno spazio topologico "attaccando" alcuni punti fra loro. Lo spazio topologico che si ottiene viene anche chiamato spazio quoziente.

Definizione

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico e ${\displaystyle \sim }$ una relazione di equivalenza su ${\displaystyle X}$. Definiamo una topologia sull'insieme quoziente ${\displaystyle X/{\sim ))$ (che consiste di tutte le classi di equivalenza di ${\displaystyle \sim }$) nel modo seguente: un insieme di classi di equivalenza in ${\displaystyle X/{\sim ))$ è aperto se e solo se la loro unione è aperta in ${\displaystyle X}$.

Sia ${\displaystyle q:X\to X/{\sim ))$ la proiezione che manda ogni elemento di ${\displaystyle X}$ nella sua classe. Elenchiamo alcune definizioni equivalenti di topologia quoziente sull'insieme ${\displaystyle X/{\sim ))$:

• Un insieme in ${\displaystyle X/{\sim ))$ è aperto se e solo se lo è la sua controimmagine tramite ${\displaystyle q}$ in ${\displaystyle X}$.
• La topologia su ${\displaystyle X/{\sim ))$ è la topologia più fine fra tutte quelle che rendono la mappa ${\displaystyle q}$ continua.
• Analogamente possiamo definire la topologia quoziente sfruttando una sua "proprietà universale".

La topologia quoziente è l'unica topologia con questa proprietà: se ${\displaystyle g:X\to Z}$ è una funzione insiemistica (qualsiasi) tale che ${\displaystyle a\sim b}$ implica ${\displaystyle g(a)=g(b)}$ per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle X}$, allora esiste un'unica funzione ${\displaystyle f:X/{\sim }\to Z}$ tale che ${\displaystyle g=f\circ q}$ per cui valga: ${\displaystyle f}$ è continua se e solo se ${\displaystyle g}$ è continua.

Nell'ultima definizione, diciamo che ${\displaystyle g}$ scende al quoziente.

Esempi

• Incollamento. In topologia si costruiscono numerosi spazi per "incollamento". Se X è uno spazio topologico e due punti x e y di X vengono incollati, si costruisce lo spazio quoziente tramite la seguente semplice relazione di equivalenza: a ~ b se e solo se a = b oppure a = x, b = y (oppure a = y, b = x). I due punti quindi diventano un punto solo. Ad esempio, in questo modo si può ottenere uno spazio connesso da uno avente due componenti connesse.
  • In generale, se A è un sottoinsieme di uno spazio topologico X, si costruisce uno spazio quoziente che "identifica A ad un solo punto" mediante la relazione di equivalenza a ~ b se e solo se a e b sono elementi di A. Tale spazio viene talvolta indicato con X/A
• Consideriamo X = R l'insieme di tutti i numeri reali, e poniamo x ~ y se e solo x−y è un intero. Lo spazio quoziente X/~ è omeomorfo al cerchio S¹ tramite la mappa che manda la classe di equivalenza di x su exp(2πix).
• L'esempio precedente può essere esteso in dimensione arbitraria. Consideriamo X = Rⁿ e poniamo x ~ y se e solo se le i-esime coordinate dei vettori x e y differiscono di un intero, per ogni i. Lo spazio quoziente è omeomorfo al toro se n = 2, ed è chiamato toro n-dimensionale per n qualsiasi. Il toro n-dimensionale è omeomorfo al prodotto di n cerchi.
• La bottiglia di Klein può essere ottenuta quozientando il piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$ tramite una opportuna relazione di equivalenza.
• Il nastro di Möbius può essere ottenuto quozientando un rettangolo tramite una opportuna relazione di equivalenza.
• Lo spazio proiettivo è ottenuto quozientando uno spazio vettoriale privato dell'origine tramite la relazione seguente: ${\displaystyle x\sim y}$ se e solo se esiste ${\displaystyle \lambda }$ tale che ${\displaystyle x=\lambda y}$, cioè ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ stanno sulla stessa retta.

Proprietà

• Se X soddisfa qualche assioma di separazione, lo spazio quoziente X/~ può non soddisfarlo. Ad esempio, X/~ è T1 se e solo se ogni classe di equivalenza di ~ è chiusa in X.

Poiché la proiezione sul quoziente è continua, la topologia di quest'ultimo eredita alcune proprietà dello spazio iniziale. Quindi:

• Se X è connesso, anche X/~ lo è.
• Se X è compatto, anche X/~ lo è.