In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una trasformazione lineare, detta anche applicazione lineare o mappa lineare, è una funzione lineare tra due spazi vettoriali sullo stesso campo, cioè una funzione che conserva le operazioni di somma di vettori e di moltiplicazione per uno scalare. In altre parole, una trasformazione lineare preserva le combinazioni lineari. Nel linguaggio dell'algebra astratta, una trasformazione lineare è un omomorfismo di spazi vettoriali, in quanto conserva le operazioni che caratterizzano gli spazi vettoriali.

In analisi funzionale una trasformazione lineare è spesso detta operatore lineare. In tale contesto, particolare importanza rivestono gli operatori lineari continui tra spazi vettoriali topologici, come ad esempio spazi di Banach.

Definizione

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali sullo stesso campo ${\displaystyle K.}$ Una funzione ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è una trasformazione lineare se soddisfa le seguenti proprietà:^[1][2]

• ${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} ),}$
• ${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ),}$

per ogni coppia di vettori ${\displaystyle \mathbf {x} }$ e ${\displaystyle \mathbf {y} }$ in ${\displaystyle V}$ e per ogni scalare ${\displaystyle a}$ in ${\displaystyle K.}$ La prima proprietà è detta additività, la seconda omogeneità di grado 1.

Equivalentemente, ${\displaystyle f}$ è lineare se "preserva le combinazioni lineari" (principio di sovrapposizione), ossia se:

${\displaystyle f(a_{1}\mathbf {x} _{1}+\cdots +a_{m}\mathbf {x} _{m})=a_{1}f(\mathbf {x} _{1})+\cdots +a_{m}f(\mathbf {x} _{m}),}$

per ogni intero positivo ${\displaystyle m}$ e ogni scelta dei vettori ${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\ldots ,\mathbf {x} _{m))$ e degli scalari ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{m}.}$

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è una applicazione lineare e ${\displaystyle \mathbf {0} _{V))$ e ${\displaystyle \mathbf {0} _{W))$ sono i vettori nulli di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ rispettivamente, allora:^[3]

${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V}+\mathbf {0} _{V})=f(\mathbf {0} _{V})+f(\mathbf {0} _{V}),}$

e togliendo ${\displaystyle f(\mathbf {0} _{V})}$ da ambo i membri si ottiene

${\displaystyle \mathbf {0} _{W}=f(\mathbf {0} _{V}).}$

Sostituendo allo zero una combinazione lineare di vettori linearmente dipendenti si dimostra che un'applicazione lineare iniettiva manda sottoinsiemi del dominio linearmente indipendenti in sottoinsiemi del codominio linearmente indipendenti.^[4]

Un'applicazione lineare è descritta completamente attraverso la sua azione sui vettori di una base qualsiasi del dominio.^[5] Poiché la scrittura di un vettore in una data base è unica, la linearità dell'applicazione determina l'unicità del vettore immagine.

Un'applicazione lineare biunivoca (o invertibile) è inoltre un isomorfismo tra spazi vettoriali.^[6]

Esistenza e unicità dell'applicazione lineare

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Sia ${\displaystyle B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$ una base di ${\displaystyle V}$ e siano ${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n))$ vettori di ${\displaystyle W.}$ Allora esiste un'unica applicazione lineare da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W}$ tale che:^[7]

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{i})=\mathbf {w} _{i},\quad \forall \ i=1,\ldots ,n.}$

Nel caso non si conosca la forma esplicita dell'applicazione è comunque possibile stabilirne l'esistenza e l'unicità attraverso la conoscenza dell'azione dell'applicazione su un insieme di vettori dati ${\displaystyle \((\mathbf {v} }_{i}\))$, dei quali si conosce quindi l'immagine. Se l'insieme di vettori è una base del dominio allora l'applicazione è univocamente determinata, mentre se i vettori dati non costituiscono una base ci sono due casi:

• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente indipendenti: in tal caso l'applicazione esiste ma non è unica.
• I vettori di cui si conosce l'immagine sono linearmente dipendenti: in tal caso uno o più vettori sono combinazione lineare dei restanti. Si ha:

${\displaystyle \mathbf {v} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}.}$

L'applicazione esiste (ma non è unica) se e solo se:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=\sum _{i=1}^{n}a_{i}f(\mathbf {v} _{i}).}$

Matrice associata

Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice di trasformazione.

Siano ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ due spazi vettoriali di dimensione finita. Scelte due basi ${\displaystyle B_{V))$ e ${\displaystyle B_{W))$ per ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W,}$ ogni trasformazione lineare da ${\displaystyle V}$ a ${\displaystyle W}$ è rappresentabile come una matrice. Si ponga:

${\displaystyle B_{V}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n}),}$

${\displaystyle B_{W}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{m}).}$

Ogni vettore ${\displaystyle \mathbf {v} }$ in ${\displaystyle V}$ è univocamente determinato dalle sue coordinate ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{n},}$ definite in modo che:

${\displaystyle \mathbf {v} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}.}$

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è una trasformazione lineare si ha:

${\displaystyle f(\mathbf {v} )=f(c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n})=c_{1}f(\mathbf {v} _{1})+\cdots +c_{n}f(\mathbf {v} _{n}).}$

Quindi la funzione ${\displaystyle f}$ è determinata dai vettori ${\displaystyle f(\mathbf {v} _{1}),\ldots ,f(\mathbf {v} _{n})}$. Ciascuno di questi è scrivibile come:

${\displaystyle f(\mathbf {v} _{j})=a_{1j}\mathbf {w} _{1}+\cdots +a_{mj}\mathbf {w} _{m}.}$

La funzione ${\displaystyle f}$ è dunque interamente determinata dai valori di ${\displaystyle a_{i,j},}$ che formano la matrice associata a ${\displaystyle f}$ nelle basi ${\displaystyle B_{V))$ e ${\displaystyle B_{W}.}$^[8]

La matrice associata ${\displaystyle A}$ è di tipo ${\displaystyle m\times n,}$ e può essere usata agevolmente per calcolare l'immagine ${\displaystyle f(\mathbf {v} )}$ di ogni vettore di ${\displaystyle V}$ grazie alla relazione seguente:

${\displaystyle A[\mathbf {v} ]_{B_{V))=[\mathbf {w} ]_{B_{W)),}$

dove ${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{B_{V))}$ e ${\displaystyle [\mathbf {w} ]_{B_{W))}$ sono le coordinate di ${\displaystyle \mathbf {v} }$ e ${\displaystyle \mathbf {w} }$ nelle rispettive basi.

Si nota che la scelta delle basi è essenziale: la stessa matrice, usata su basi diverse, può rappresentare applicazioni lineari diverse.

Struttura di spazio vettoriale

L'insieme ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$ delle applicazioni lineari da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W}$ è un sottospazio vettoriale dello spazio vettoriale sul campo ${\displaystyle K}$ formato da tutte le funzioni da ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle W,}$ infatti:^[9]

• se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ e ${\displaystyle g\colon V\to W}$ sono lineari, allora è lineare la loro somma ${\displaystyle f+g,}$ definita dalla relazione

${\displaystyle (f+g)(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} )+g(\mathbf {v} );}$

• se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è lineare e ${\displaystyle a}$ è un elemento del campo ${\displaystyle K,}$ allora la funzione ${\displaystyle af,}$ definita da ${\displaystyle (af)(\mathbf {v} )=a(f(\mathbf {v} )),}$ è anch'essa lineare.

Nel caso finito-dimensionale, dopo aver fissato delle basi, le operazioni di somma e prodotto di una funzione per uno scalare di applicazioni lineari corrispondono rispettivamente a somma di matrici e moltiplicazione di matrici per uno scalare. Le basi definiscono quindi un isomorfismo ${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)\to M(n,m)}$ tra gli spazi vettoriali delle applicazioni lineari e delle matrici ${\displaystyle n\times m,}$ dove ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ sono le dimensioni rispettivamente di ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W.}$

Nucleo e immagine

Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema della dimensione.

Se ${\displaystyle f\colon V\to W}$ è lineare, il nucleo di ${\displaystyle f}$ è l'insieme:^[10]

${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)=\{\mathbf {x} \in V:f(\mathbf {x} )=0\},}$

mentre l'immagine di ${\displaystyle f}$ è l'insieme:^[11]

${\displaystyle \operatorname {Im} (f)=\{f(\mathbf {x} )\in W:\mathbf {x} \in V\}.}$

L'insieme ${\displaystyle \mathrm {Ker} (f)}$ è un sottospazio di ${\displaystyle V}$, mentre ${\displaystyle \operatorname {Im} (f)}$ è un sottospazio di ${\displaystyle W}$. Se ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ hanno dimensione finita, il teorema della dimensione asserisce che:^[12]

${\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (f))+\dim(\operatorname {Im} (f))=\dim(V).}$

Questo teorema fornisce un criterio necessario e sufficiente al fine di stabilire l'esistenza di una trasformazione lineare.

Endomorfismi e automorfismi

Una trasformazione lineare ${\displaystyle f\colon V\to V}$ è un endomorfismo di ${\displaystyle V.}$ L'insieme di tutti gli endomorfismi ${\displaystyle {\text{End))(V)}$ insieme a addizione, composizione e moltiplicazione per uno scalare come descritti sopra formano un'algebra associativa con unità sul campo ${\displaystyle K}$: in particolare formano un anello e uno spazio vettoriale su ${\displaystyle K.}$ L'elemento identità di questa algebra è la trasformazione identità di ${\displaystyle V.}$

Un endomorfismo biiettivo di ${\displaystyle V}$ viene chiamato automorfismo di ${\displaystyle V.}$ La composizione di due automorfismi è di nuovo un automorfismo, e l'insieme di tutti gli automorfismi di ${\displaystyle V}$ forma un gruppo, il gruppo generale lineare di ${\displaystyle V,}$ chiamato ${\displaystyle \mathrm {Aut} (V)}$ o ${\displaystyle \mathrm {GL} (V).}$

Se la dimensione di ${\displaystyle V}$ è finita basterà che ${\displaystyle f}$ sia iniettiva per poter affermare che sia anche suriettiva (per il teorema della dimensione). Inoltre l'isomorfismo

${\displaystyle {\textrm {End))(V)\to M(n)}$

fra gli endomorfismi e le matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$ descritto sopra è un isomorfismo di algebre. Il gruppo degli automorfismi di ${\displaystyle V}$ è isomorfo al gruppo lineare generale ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ di tutte le matrici ${\displaystyle n\times n}$ invertibili a valori in ${\displaystyle K.}$

Pull-Back di funzioni ed applicazione trasposta

Lo stesso argomento in dettaglio: Pull-back.

Siano ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ e ${\displaystyle C}$ insiemi e siano ${\displaystyle F(A,C)}$ e ${\displaystyle F(B,C)}$ le famiglie di funzioni da ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle C}$ e da ${\displaystyle B}$ in ${\displaystyle C}$ rispettivamente. Ogni ${\displaystyle \phi \colon A\to B}$ determina univocamente una corrispondenza ${\displaystyle \phi ^{*}\colon F(B,C)\to F(A,C)}$ chiamata pull-back tramite ${\displaystyle \phi ,}$ che manda ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle F\circ \phi .}$

Se nello specifico si considerano ${\displaystyle A=V}$ e ${\displaystyle B=W}$ due spazi vettoriali su un campo ${\displaystyle K=C}$ e anziché prendere interamente ${\displaystyle F(V,K)}$ e ${\displaystyle F(W,K)}$ si considerano gli spazi duali ${\displaystyle V^{*))$ e ${\displaystyle W^{*))$ si ha che ad ogni trasformazione lineare ${\displaystyle \phi \colon V\to W}$ si può associare l'opportuna restrizione del pull-back tramite ${\displaystyle \phi }$, ovvero la funzione ${\displaystyle \phi ^{*}\colon W^{*}\to V^{*))$ che prende il nome di trasposta di ${\displaystyle \phi .}$

Segue direttamente da come sono definite le operazioni in ${\displaystyle V^{*))$ e ${\displaystyle W^{*))$ che ${\displaystyle \phi ^{*))$ è a sua volta lineare. Con un semplice calcolo si vede che fissate delle basi per ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ e le rispettive duali in ${\displaystyle V^{*))$ e ${\displaystyle W^{*},}$ la matrice di trasformazione associata a ${\displaystyle \phi ^{*))$ è la trasposta di quella di ${\displaystyle \phi .}$

Segue dalla definizione che un funzionale ${\displaystyle \lambda \in W^{*))$ viene mandato in zero da ${\displaystyle \phi ^{*))$ solo se l'immagine di ${\displaystyle \phi }$ è contenuta nel nucleo di ${\displaystyle \lambda }$ cioè, indicando con ${\displaystyle U^{\perp ))$ il sottospazio dei funzionali che annullano ${\displaystyle U\subset W}$, si ha ${\displaystyle \mathrm {Ker} (\phi ^{*})\subseteq (\Im \phi )^{\perp ))$. Inoltre dalla stessa definizione si deduce che un funzionale ${\displaystyle \mu \in V^{*))$ è immagine di un funzionale ${\displaystyle \eta \in W^{*))$ (vale a dire ${\displaystyle \mu =\phi ^{*}(\eta )}$ solo se ${\displaystyle \eta }$ annulla il nucleo di ${\displaystyle \phi }$, ossia ${\displaystyle \Im (\phi ^{*})\subseteq (\mathrm {Ker} \phi )^{\perp ))$ . Nel caso in cui ${\displaystyle V}$ e ${\displaystyle W}$ siano di dimensione finita si deduce dal teorema della dimensione e dalle relazioni ${\displaystyle \dim ~V=\mathrm {Ker} \phi +(\mathrm {Ker} \phi )^{\perp ))$ e ${\displaystyle \dim ~W^{*}=\dim ~W=\Im \phi +(\Im \phi )^{\perp ))$ che le due inclusioni precedenti sono a tutti gli effetti uguaglianze.

Esempi

• La moltiplicazione ${\displaystyle f(v)=av,}$ in qualsiasi spazio vettoriale su ${\displaystyle K,}$ per una costante fissata ${\displaystyle a\in K.}$
• Una rotazione del piano euclideo rispetto all'origine di un angolo fissato.
• Una riflessione del piano euclideo rispetto ad una retta passante per l'origine.
• La proiezione di uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$ decomposto in somma diretta:

  ${\displaystyle V=U\oplus W}$

  su uno dei due sottospazi ${\displaystyle U}$ o ${\displaystyle W.}$
• Una matrice ${\displaystyle A}$ di tipo ${\displaystyle m\times n}$ con valori reali definisce una trasformazione lineare:

  ${\displaystyle L_{A}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\qquad L_{A}(v)=Av,}$

  dove ${\displaystyle Av}$ è il prodotto di ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle v.}$ Ogni trasformazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita è essenzialmente di questo tipo: si veda la sezione seguente.
• L'integrale di una funzione reale su un intervallo definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale delle funzioni continue definite sull'intervallo nello spazio vettoriale ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
• La derivata definisce una mappa lineare dallo spazio vettoriale di tutte le funzioni derivabili in qualche intervallo aperto di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nello spazio di tutte le funzioni.
• Lo spazio ${\displaystyle \mathbb {C} }$ dei numeri complessi ha una struttura di spazio vettoriale complesso di dimensione 1, e anche di spazio vettoriale reale di dimensione 2. La coniugazione

  ${\displaystyle f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} ,\qquad f(z)={\bar {z))}$

  è una mappa ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare ma non ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineare: infatti la proprietà di omogeneità vale solo per scalari reali.