Kompleksās plaknes vienības riņķis, kur
y
{\displaystyle y}
ass ir imagināra un
x
{\displaystyle x}
ass ir reāla. Riņķi atlikta eilera formula. Eilera formula , kas nosaukta Leonarda Eilera vārdā, ir formula komplekso skaitļu analīzē, kas saista trigonometriskās funkcijas ar kompleksas pakāpes funkciju . Eilera formula apgalvo, ka jebkuram reālam skaitlim
x
{\displaystyle x}
izpildās:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos {x}+i\sin {x))
, kur
e
{\displaystyle e}
ir Eilera skaitlis ,
i
{\displaystyle i}
ir imaginārā vienība un
cos
{\displaystyle \cos }
,
sin
{\displaystyle \sin }
ir trigonometriskās funkcijas kosinuss un sinuss .[1] Formula ir arī spēkā, ja
x
{\displaystyle x}
ir komplekss skaitlis.[2]
Kad
x
=
π
{\displaystyle x=\pi }
, Eilera formula ir vienāda ar
e
i
π
=
−
1
{\displaystyle e^{i\pi }=-1}
.
Kompleksas pakāpes definīcijas
Diferenciālvienādojums
Pakāpes funkcija
f
(
z
)
=
e
z
{\displaystyle f(z)=e^{z))
, kur
z
{\displaystyle z}
ir komplekss skaitlis ir unikāla atvasināma funkcija ar kompleksu mainīgo, kurai izpildās šādas īpašības:
d
f
d
z
=
f
{\displaystyle {\frac {df}{dz))=f}
un
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
Teilora rinda
Priekš kompleksiem mainīgajiem
z
{\displaystyle z}
izpildās Teilora rinda :
e
z
=
1
+
z
1
!
+
z
2
2
!
+
z
3
3
!
+
.
.
.
=
∑
n
=
0
∞
z
n
n
!
{\displaystyle e^{z}=1+{\frac {z}{1!))+{\frac {z^{2)){2!))+{\frac {z^{3)){3!))+...=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n)){n!))}
.
Robeža
Priekš kompleksiem mainīgajiem
z
{\displaystyle z}
izpildās robeža :
e
z
=
lim
n
→
∞
(
1
+
z
n
)
n
{\displaystyle e^{z}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {z}{n)))^{n))
Robežās definīcijas izmantotie
n
{\displaystyle n}
ir pozitīvie veselie skaitļi .
Pierādījumi
Pastāv vairāki formulas pierādījumi.
Izmantojot atvasināšanau
Apskatīsim funkciju
f
(
θ
)
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e
i
θ
{\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta )){e^{i\theta ))))
jeb
f
(
θ
)
=
e
−
i
θ
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
{\displaystyle f(\theta )=e^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })}
, kur
θ
{\displaystyle \theta }
ir reāls skaitlis. Atvasinot pēc
θ
{\displaystyle \theta }
ar reizināšanas kārtulu iegūst:
d
f
(
θ
)
d
θ
=
−
i
e
−
i
θ
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
+
e
−
i
θ
(
−
sin
θ
+
i
cos
θ
)
)
{\displaystyle {\frac {df(\theta )}{d\theta ))=-ie^{-i\theta }(\cos {\theta }+i\sin {\theta })+e^{-i\theta }(-\sin {\theta }+i\cos {\theta }))}
, iznesot pirms iekavām
e
−
i
θ
{\displaystyle e^{-i\theta ))
iegūst
e
−
i
θ
(
−
i
cos
θ
+
sin
θ
−
sin
θ
+
i
cos
θ
)
{\displaystyle e^{-i\theta }(-i\cos {\theta }+\sin {\theta }-\sin {\theta }+i\cos {\theta })}
. Tā kā visi iekavas locekļi noīsinās, tad
d
f
(
θ
)
d
θ
{\displaystyle {\frac {df(\theta )}{d\theta ))}
ir nulle, jeb
f
(
θ
)
{\displaystyle f(\theta )}
ir konstanta funkcija. Tā kā
f
(
0
)
=
1
{\displaystyle f(0)=1}
, tad pie jebkuras vērtības
θ
{\displaystyle \theta }
izpildās
f
(
θ
)
=
cos
θ
+
i
sin
θ
e
i
θ
=
1
{\displaystyle f(\theta )={\frac {\cos {\theta }+i\sin {\theta )){e^{i\theta ))}=1}
, jeb
cos
θ
+
i
sin
θ
=
e
i
θ
{\displaystyle \cos {\theta }+i\sin {\theta }=e^{i\theta ))
.
Izmantojot Teilora rindu
Teilora rindas pierādījuma animācija Izmantojot imaginārās vienības
i
{\displaystyle i}
pakāpju īpašības:
i
0
=
1
,
i
1
=
i
,
i
2
=
−
1
,
i
3
=
−
i
,
i
4
=
1
,
i
5
=
i
,
i
6
=
−
1
,
i
7
=
−
i
⋮
⋮
⋮
⋮
{\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&=1,&i^{1}&=i,&i^{2}&=-1,&i^{3}&=-i,\\i^{4}&=1,&i^{5}&=i,&i^{6}&=-1,&i^{7}&=-i\\&\vdots &&\vdots &&\vdots &&\vdots \end{aligned))}
Tagad var izmantot kompleksās pakāpes Teilora rindas definīciju priekš reāliem skaitļiem
x
{\displaystyle x}
:
e
i
x
=
1
+
i
x
+
(
i
x
)
2
2
!
+
(
i
x
)
3
3
!
+
(
i
x
)
4
4
!
+
(
i
x
)
5
5
!
+
(
i
x
)
6
6
!
+
(
i
x
)
7
7
!
+
(
i
x
)
8
8
!
+
⋯
=
1
+
i
x
−
x
2
2
!
−
i
x
3
3
!
+
x
4
4
!
+
i
x
5
5
!
−
x
6
6
!
−
i
x
7
7
!
+
x
8
8
!
+
⋯
=
(
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
x
8
8
!
−
⋯
)
+
i
(
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
⋯
)
=
cos
x
+
i
sin
x
,
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2)){2!))+{\frac {(ix)^{3)){3!))+{\frac {(ix)^{4)){4!))+{\frac {(ix)^{5)){5!))+{\frac {(ix)^{6)){6!))+{\frac {(ix)^{7)){7!))+{\frac {(ix)^{8)){8!))+\cdots \\[8pt]&=1+ix-{\frac {x^{2)){2!))-{\frac {ix^{3)){3!))+{\frac {x^{4)){4!))+{\frac {ix^{5)){5!))-{\frac {x^{6)){6!))-{\frac {ix^{7)){7!))+{\frac {x^{8)){8!))+\cdots \\[8pt]&=\left(1-{\frac {x^{2)){2!))+{\frac {x^{4)){4!))-{\frac {x^{6)){6!))+{\frac {x^{8)){8!))-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3)){3!))+{\frac {x^{5)){5!))-{\frac {x^{7)){7!))+\cdots \right)\\[8pt]&=\cos x+i\sin x,\end{aligned))}
Pēdējā solī tiek pamanīts, ka divas bezgalīgās rindas konverģē uz
cos
x
{\displaystyle \cos {x))
un
sin
x
{\displaystyle \sin {x))
funkcijām. Šādi grupēt mainīgos drīkst, jo pati bezgalīgā rinda pēc absolūtās vērtības konverģē.
Saistība ar trigonometriju
Saistība sinusa, kosinusa un imaginārās pakāpes funkcijai. Izmantojot Eilera formulu, trigonometrisko funkciju definīcijas un pakāpju īpašības, iespējams pierādīt lielu daļu trigonometrisko identitāšu.
cos
x
=
Re
(
e
i
x
)
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
,
sin
x
=
Im
(
e
i
x
)
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&=\operatorname {Re} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}+e^{-ix)){2)),\\\sin x&=\operatorname {Im} \left(e^{ix}\right)={\frac {e^{ix}-e^{-ix)){2i)).\end{aligned))}
[2]
Šīs divas izteiksmes var iegūt, saskaitot un atņemot Eilera formulas un izsakot
cos
{\displaystyle \cos }
vai
sin
{\displaystyle \sin }
:
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
,
e
−
i
x
=
cos
(
−
x
)
+
i
sin
(
−
x
)
=
cos
x
−
i
sin
x
{\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x,\\e^{-ix}&=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\end{aligned))}
Kompleksās pakāpes var vienkāršot trigonometriju, jo tās ir vieglāk pārveidot. Piemēram:
cos
x
cos
y
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
⋅
e
i
y
+
e
−
i
y
2
=
1
2
⋅
e
i
(
x
+
y
)
+
e
i
(
x
−
y
)
+
e
i
(
−
x
+
y
)
+
e
i
(
−
x
−
y
)
2
=
1
2
(
e
i
(
x
+
y
)
+
e
−
i
(
x
+
y
)
2
+
e
i
(
x
−
y
)
+
e
−
i
(
x
−
y
)
2
)
=
1
2
(
cos
(
x
+
y
)
+
cos
(
x
−
y
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cos y&={\frac {e^{ix}+e^{-ix)){2))\cdot {\frac {e^{iy}+e^{-iy)){2))\\&={\frac {1}{2))\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y))){2))\\&={\frac {1}{2)){\bigg (}{\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y))){2))+{\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y))){2)){\bigg )}\\&={\frac {1}{2))\left(\cos(x+y)+\cos(x-y)\right).\end{aligned))}