Carrière
Jesse Bosch speelde als jeugdspeler voor SV De Lutte en de voetbalacademie FC Twente. Op 26 mei 2018 speelde hij een wedstrijd voor Jong FC Twente in de Derde divisie Zaterdag, een 1-3 overwinning tegen ODIN '59. Hierna werd Jong FC Twente uit de voetbalpiramide gehaald, en speelde Bosch voor dit team in de Beloften Eredivisie. In 2019 werd hij officieel overgeheveld van de -19-selectie naar Jong FC Twente.
In het seizoen 2019/20 maakte hij geregeld deel uit van de wedstrijdselectie van het eerste elftal van FC Twente. Hij debuteerde op 30 oktober 2019, in een met 0-2 gewonnen bekerwedstrijd tegen De Treffers. Bosch kwam in de 63e minuut in het veld voor Lindon Selahi.[3] Tijdens een trainingskamp in de winterstop maakte hij een goede indruk op trainer Gonzalo García García, die hem in de eerstvolgende wedstrijd, thuis tegen FC Groningen op 18 januari 2020, een basisplaats gaf.