Laplacetransformasjon er ein matematisk operasjon som overfører ein funksjon frå tidsplanet til eit komplekst plan, kalla -planet[1][2][3]. Ved å gjere det vil enkelte matematiske operasjonar kunne bli enklare å utføre. Dette gjeld spesielt derivasjon, integrasjon og foldning. Transformasjonen er kalla opp etter Pierre-Simon Laplace.
Den tidsdiskrete varianten av laplace-transformasjonen er kjend som Z-transformasjonen.
Den einsidige laplacetransformasjonen er definert:
,
der er ein funksjon (eller eit signal) i tidsplanet, er kompleks frekvens, er den imaginære eininga, er vinkelfrekvensen (rad/s) og σ er reell. I eit stabilt system er σ negativ, og tilsvarar demping. Innan matematikk og fysikk er det vanleg å nytta symbolet for den imaginære eininga, i staden for . I samband med ingeniørfag nyttar ein som oftast symbolet , for å unngå forveksling med elektrisk straum, som òg har symbolet .
Ein kan òg definera ein to-sidig Laplace-transformasjon, som
Den inverse Laplace-transformasjonen transformerer frå det komplekse frekvensplanet (-planet) attende til tidsplanet[4]:
der er eit reelt tal større enn den største av realdelane til alle singularitetane til , og er avgrensa på integrasjonsvegen.
I -planet vert derivasjon erstatta av multiplikasjon med , og integrasjon vert erstatta av divisjon med , noko som er mykje enklare operasjonar.
Foldning av dei to signala og vert i tidsplanet utført som
der er foldningsoperatoren, som er ein kompakt notasjon for foldning. I -planet tilsvarar dette multiplikasjon:
der og er Laplacetransformasjonane av respektivt , som er enklare å utføra. På same vis tilsvarar foldning i -planet multiplikasjon i tidsplanet.
Laplacetransformasjon spelar ein vikig rolle i samband med analyse og syntese av lineære dynamisk system. innan signalhandsaming[4][5][6] og reguleringsteknikk[7][8].