Algebra Banacha – przestrzeń Banacha z określonym dodatkowym działaniem mnożenia wraz z którym tworzy ona algebrę nad ciałem liczb rzeczywistych (algebrę rzeczywistą) bądź zespolonych (algebrę zespoloną) i w której norma jest podmultiplikatywna, tj.
![{\displaystyle \|a\cdot b\|\leqslant \|a\|\,\|b\|\quad (a,b\in A).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49fff2be33ea144fc8ce6cfcb3b404b43f279aed)
Definicja ta ma również sens dla przestrzeni unormowanych, które niekoniecznie są zupełne – w takim przypadku mówi się o algebrach unormowanych. Jeżeli działanie mnożenia jest przemienne, to mówi się odpowiednio o przemiennych algebrach unormowanych i przemiennych algebrach Banacha.
Istnieją zasadnicze różnice w teorii zespolonych i rzeczywistych algebr Banacha wynikające z gorszych własności spektralnych tych drugich, skąd klasyczna teoria algebr Banacha dotyczy głównie zespolonych algebr Banacha. W analizie
-adycznej rozważa się również zdefiniowane podobnie jak wyżej algebry Banacha nad ciałem liczb
-adycznych (bądź innym ciałem z waluacją), jednak zwykle teorii tej nie zalicza się do teorii algebr Banacha. W niniejszym artykule rozważane będą głównie zespolone algebry Banacha.
Nazwa algebra Banacha została wprowadzona w 1945 przez Warrena Ambrose’a[1].
Jedynka w algebrze Banacha
Definicja algebry Banacha nie wymaga by miała ona jedynkę, tj. element neutralny względem mnożenia. Skrajnym przykładem algebry Banacha bez jedynki jest dowolna przestrzeń Banacha
z trywialnym mnożeniem, tj.
Każdą algebrę Banacha
można jednak rozszerzyć o jedynkę do większej algebry Banacha (tj. zbudować jej ujedynkowienie) w taki sposób by
była izometryczna z ideałem o kowymiarze 1 w ujedynkowieniu. Dokładniej, w sumie prostej
wprowadza się działanie mnożenia wzorem
![{\displaystyle (a,\lambda )\cdot (b,\mu )=(ab+\lambda b+\mu a,\lambda \mu )\quad (a,b\in A,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dac601fcc28030c6bba0fce64a49947c7175a6c9)
wraz z którą jest ona algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha z normą
[2].
Powyższe konstrukcje mają również sens dla rzeczywistych algebr Banacha; należy jedynie zastąpić wszędzie
przez
Przykłady
- Niech
lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz niech
oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach skalarnych, które znikają w nieskończoności, tj. takich funkcji ciągłych
że dla każdego
zbiór
![{\displaystyle \{x\in X\colon |f(x)|\geqslant \varepsilon \))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44df8bd569a7f92b9cf6b8e2693143428086ae6)
- jest zwarty. W przypadku, gdy przestrzeń
jest zwarta, każda funkcja ciągła na
spełnia ten warunek, skąd przyjmuje się oznaczenie
Algebra
z normą supremum:
![{\displaystyle \|f\|=\sup\{|f(x)|\colon x\in X\}\quad (f\in C_{0}(X))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ab925426393457aee48c727c733f0c0b6000034)
- jest przemienną algebrą Banacha, która ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzeń
jest zwarta (jedynką jest wówczas funkcja stale równa 1).
![{\displaystyle \|T\|=\sup\{\|Tx\|\colon x\in E,\|x\|\leqslant 1\}\quad (T\in B(E))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4f47e685e8f4c3017566567f6c9d2496f6fd046)
- jest algebrą Banacha z jedynką (jedynką jest w tym wypadku operator identycznościowy). Algebra ta jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle \dim E\leqslant 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eb3f71c0f1b2f750379272c3e38b8041feaf835)
- Niech
oznacza przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a na prostej z mnożeniem określonym przez splot, tj.
![{\displaystyle (f*g)(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)g(x-t)\mathrm {d} t\;(f,g\in L_{1}(\mathbb {R} )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19a8a29d5e674ec002ae37b1e6569be30c6f0b70)
- Jest to przykład algebry Banacha bez jedynki, którą jednak można aproksymować w takim sensie, iż istnieje ciąg
o wyrazach z przestrzeni
o tej własności, że
dla każdej liczby naturalnej
oraz
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }~\|e_{n}*f-f\|=\lim _{n\to \infty }~\|f*e_{n}-f\|=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b3a75d86f51269fb3b30157bd6a802b5717a9b3)
- dla każdej funkcji
Ogólniej, dla każdej lokalnie zwartej grupy topologicznej Hausdorffa z określoną na niej miarą Haara
przestrzeń
funkcji
-całkowalnych na
z działaniem mnożenia splotowego określonego niżej jest algebrą Banacha:
![{\displaystyle (xy)(g)=\int \limits _{G}x(h)y\left(h^{-1}g\right)\mu (\mathrm {d} h),\;x,y\in L^{1}(G).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/204252e598566cfde571bc41e4f74b2df0ec1289)
- Algebra
ma jedynkę wtedy i tylko wtedy, gdy grupa
jest dyskretna.
Otwartość grupy elementów odwracalnych a ciągłość operacji brania elementu odwrotnego
Niech
będzie (rzeczywistą bądź zespoloną) algebrą Banacha z jedynką 1. Zbiór
złożony ze wszystkich elementów odwracalnych w
jest niepusty, gdyż zawiera 1 oraz jest grupą z mnożeniem dziedziczonym z
Jeżeli
oraz
![{\displaystyle \delta :=\|1-a\|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc969bff1b049315cd5cb57509fb0dcaa2ec64d)
to
Ponadto
[5].
- Dowód. Niech
będą liczbami naturalnymi. Wówczas
![{\displaystyle {\Big \|}\sum _{k=0}^{N}(1-a)^{k}-\sum _{k=0}^{M}(1-a)^{k}{\Big |}={\Big \|}\sum _{k=M+1}^{N}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=M+1}^{N}\|1-a\|^{k}\leqslant {\frac {\delta ^{M)){1-\delta )).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b42af3f85341924c0d3565b8a1dfe98391645e21)
- Ponieważ prawa strona powyższej nierówności jest zbieżna do 0, ciąg sum częściowych ciągu
jest ciągiem Cauchy’ego, a więc jest on zbieżny do pewnego elementu
(z zupełności
), tj.
![{\displaystyle b=\sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8154a8de7ad8943fa0e0301be6db7630bc73d454)
- Ponadto
![{\displaystyle {\begin{aligned}ab&=(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}\\&=lim_{n\to \infty }(1-(1-a))\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10bf0231e0fbea8d09a6fb7a8d27d87d3697983d)
- oraz
![{\displaystyle {\begin{aligned}ba&=\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}(1-(1-a))\\&=\lim _{n\to \infty }(1-(1-a)^{n+1})\\&=1,\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02d5102de92e0254aee76508bdd5e6ab747d87d8)
- ponieważ
Pokazuje to, że
Co więcej,
![{\displaystyle \|b\|=\lim _{n\to \infty }{\Big \|}\sum _{k=0}^{n}(1-a)^{k}{\Big \|}\leqslant \sum _{k=0}^{n}{\big \|}(1-a){\big \|}^{k}={\frac {1}{1-\|1-a\|)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f57d23c1fe876ba5137b3941532a6a7a58e778d)
Z powyższego wynika, że grupa
jest otwarta (w topologii pochodzącej od normy
)[6].
- Dowód. Niech
będzie elementem odwracalnym oraz niech
będzie dowolne. Wówczas
W przypadku gdy
element
jest również odwracalny ponieważ
![{\displaystyle \|1-u^{-1}a\|\leqslant \|u^{-1}\|\,\|a-u\|<1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c615821654859b9fc6748778ff340b50284d5480)
- więc element
(a więc i samo
) jest odwracalny.
Ostatecznie, funkcja
![{\displaystyle a\mapsto a^{-1}\quad (a\in \mathrm {GL} (A))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b153729780bc35df71b048becf82537b6275c930)
jest ciągła, tj.
jest grupą topologiczną[7].
- Dowód. Niech
Jeżeli
to ![{\displaystyle \|1-a^{-1}b\|<2^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a6ea071166e7c269db4c41e9d5ef735000ac39)
- Stąd
![{\displaystyle \|b^{-1}\|\leqslant \|b^{-1}a\|\|a\|=\|(a^{-1}b)^{-1}\|\|a\|\leqslant 2\|a^{-1}\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab135af92128940060061012dd9e3f77f7397834)
- Ostatecznie
![{\displaystyle \|a^{-1}-b^{-1}\|\leqslant \|a^{-1}(a-b)b^{-1}\|\leqslant 2\|a^{-1}\|^{2}\ \|a-b\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3023515975a327394269326811c9a0f1c31eba)
- co dowodzi ciągłości operacji brania elementu odwrotnego.
Ideały i ilorazowe algebry Banacha
Niech
będzie algebrą Banacha oraz niech
będzie domkniętym ideałem dwustronnym. W szczególności,
jest domkniętą podprzestrzenią liniową, więc przestrzeń ilorazowa
jest przestrzenią Banacha. Ponieważ
jest ideałem dwustronnym,
jest również algebrą. Algebra ta jest algebrą Banacha, tj. norma ilorazowa jest podmultiplikatywna.
- Dowód. Niech
Wówczas
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|ab+I\|&=\textstyle \inf _{c\in ab+I}\|c\|\\&=\textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I,c_{2}\in b+I}\|c_{1}\|\cdot \|c_{2}\|\\&\leqslant \textstyle \inf _{c_{1}\in a+I}\|c_{1}\|\cdot \inf _{c_{2}\in b+I}\|c_{2}\|\\&=\|a+I\|\cdot \|b+I\|.\end{aligned))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/666b28ed6957c0d4cfeaa6d0e5953d65d1089fe3)
- Powyższa nierówność kończy dowód, ponieważ każdy element
jest postaci
dla pewnego
[8].
Z ciągłości działań w algebrze Banacha wynika, że jeżeli
jest dowolnym ideałem w
to jego domknięcie też jest ideałem w
Przykłady
- Niech
będzie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Wówczas każdy domknięty ideał
w
jest postaci
![{\displaystyle I=\{f\in C(X)\colon f|_{K}=0\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/138336aee7b6398fab99c7f6ccdcc57b85aaac35)
- dla pewnego zwartego podzbioru
Algebra ilorazowa
jest wówczas izometrycznie izomorficzna jako algebra Banacha z
[9][10].
- Dla każdej przestrzeni Banacha
zbiór
złożony ze wszystkich operatorów zwartych na
jest domkniętym ideałem w
Algebra ilorazowa
bywa nazywana algebrą Calkina przestrzeni
(czasami nazwa ta jest rezerwowana dla przypadku, gdy
jest ośrodkową przestrzenią Hilberta[11]).
- ↑ W. Ambrose, Structure theorems for a special class of Banach algebras, „Trans. Amer. Math. Soc.” 57 (1945), s. 364–386.
- ↑ Kaniuth 2009 ↓, s. 6.
- ↑ Algebra Banacha, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-07-24] .
- ↑ Kaniuth 2009 ↓, s. 2.
- ↑ Douglas 1998 ↓, s. 34.
- ↑ Douglas 1998 ↓, s. 35.
- ↑ Douglas 1998 ↓, s. 36.
- ↑ Douglas 1998 ↓, s. 39–40.
- ↑ Douglas 1998 ↓, s. 54.
- ↑ Kadison i Ringrose 1983 ↓, s. 210–211.
- ↑ Douglas 1998 ↓, s. 113.
- Ronald G. Douglas: Banach Algebra Techniques in Operator Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1998.
- Eberhard Kaniuth: A Course in Commutative Banach Algebras. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2009, seria: Grad. Texts in Math., vol. 246.
- Richard V. Kadison, John. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Elementary Theory. Nowy Jork: Academic Press, 1983.
- William Arveson: A Short Course on Spectral Theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 2001.brak strony w książce