Wzory
Jeżeli
jest funkcją pierwotną funkcji
określonej i ciągłej na pewnym przedziale, to każda inna pierwotna
funkcji
na tym przedziale różni się od
o stałą: istnieje liczba
nazywana stałą całkowania, taka, że
dla wszystkich
Jeżeli dziedzina
jest sumą rozłączną dwóch lub większej liczby przedziałów, na każdym z których
jest ciągła, to na każdym z tych przedziałów można wybrać inną stałą całkowania, np.
![{\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x))+C_{1},\quad x<0\\[2pt]-{\frac {1}{x))+C_{2},\quad x>0\end{cases)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433b609331f8f903b76ab4dcdca33706515ea5b6)
jest najogólniejszą funkcją pierwotną funkcji
określonej na jej dziedzinie naturalnej
Otóż, funkcja pierwotna funkcji
![{\displaystyle \int f(x)\;\operatorname {d} x=F(x)+C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5accb250a190759d7f8de7e037650973b33bd39b)
gdzie:
![{\displaystyle F'(x)={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x))F(x)=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af7d6226a03c66d4cc18d9f0ebdb06879403a3ed)
Wyrażenie
nazywa się całką nieoznaczoną (ogólną funkcją pierwotną) funkcji podcałkowej
czasami zmienną
nazywa się w tym kontekście zmienną całkowania. Obecność stałej całkowania
wynika z faktu, że pochodna stałej jest zawsze równa zeru.
Symbol
(stylizowana litera S, od łac. summa), oznaczający operację całkowania, został wprowadzony w 1686 roku przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Leibniza.
Ponieważ branie funkcji pierwotnej jest operacją odwrotną względem brania jej pochodnej, twierdzenia i reguły dotyczące funkcji pierwotnej uzyskuje się z reguł dotyczących pochodnej. Stąd następujące twierdzenia dowodzone są z odpowiednich twierdzeń dla pochodnej:
- podstawowa reguła całki nieoznaczonej:
![{\displaystyle \int dx=x+C;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95ee0987f62d03ca7a86278778ec9f5f7cfe2097)
- całka nieoznaczona iloczynu funkcji i stałej jest równa stałej pomnożonej przez całkę nieoznaczoną funkcji (jednorodność):
![{\displaystyle \int af(x)\;\operatorname {d} x=a\int f(x)\;\operatorname {d} x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/727b13f70da20ca36792c1745c3002207fdbb1a2)
- jeżeli
oraz
określone są na tym samym przedziale, to całka nieoznaczona ich sumy jest równa sumie całek nieoznaczonych funkcji
i
(addytywność):
![{\displaystyle \int {\big (}f(x)+g(x){\big )}\;\operatorname {d} x=\int f(x)\;\operatorname {d} x+\int g(x)\;\operatorname {d} x;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7530e178604ce597878da7e40d677e50bc95b996)
- jeśli
jest liczbą rzeczywistą, to
![{\displaystyle \int x^{n}\;\operatorname {d} x={\begin{cases}{\frac {x^{n+1)){n+1))+C&{\text{dla ))n\neq -1,\\[6pt]\ln |x|+C&{\text{dla ))n=-1.\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33de505bf16d8ecf576474b1202f5256acdf598)
Osobny artykuł: całka funkcji.
Własności i zastosowania
Całki nieoznaczone są bardzo często stosowane do obliczania całek oznaczonych. Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego mówi, że jeżeli
jest funkcją pierwotną funkcji
a
jest ciągła, to
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)\;\operatorname {d} x=F(b)-F(a).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d509eec71b14550ba353f898ab24175b7ce1591f)
Każda funkcja ciągła
ma funkcję pierwotną, a jedna z nich,
dana jest za pomocą całki oznaczonej funkcji
z uzmiennioną górną granicą całkowania:
![{\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\;\operatorname {d} t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2626111ac38e6a2ebc0748396207a13e6f83e678)
Uzmiennienie dolnej granicy daje inne funkcje pierwotne (ale niekoniecznie wszystkie z nich). Jest to inne sformułowanie podstawowego twierdzenia rachunku całkowego.
Istnieje wiele funkcji, których funkcje pierwotne nie mogą być wyrażone za pomocą funkcji elementarnych (takich jak wielomiany, funkcje wymierne, funkcje wykładnicze, logarytmy, funkcje trygonometryczne, funkcje odwrotne do trygonometrycznych i ich złożenia). Przykładami mogą być
![{\displaystyle \int e^{-x^{2))\;\operatorname {d} x,\qquad \int {\frac {\sin x}{x))\;\operatorname {d} x,\qquad \int {\frac {1}{\ln x))\;\operatorname {d} x,\qquad \int x^{x}\;\operatorname {d} x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c476ca1c30a8cdce9a416bdcbcc1009de6e730)
Metody całkowania
Całkowanie nie jest sprawą trywialną. Istnieje wprawdzie algorytm Rischa, który pozwala dla każdej funkcji elementarnej sprawdzić, czy jej całka jest funkcją elementarną i jeśli tak, znaleźć ją. Wymaga on jednak bardzo wielu obliczeń, jest więc używany tylko w programach komputerowych, wspomagających obliczenia symboliczne.
Stosuje się zatem pewne przekształcenia pozwalające sprowadzić funkcję do prostszej postaci. Niektóre z nich wymienione są poniżej.
Całkowanie przez części
Jeśli funkcje
i
są określone w pewnym przedziale i mają tam ciągłe pochodne, to:
![{\displaystyle \int f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)-\int f(x)g'(x)dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f16ea911e5a4d0d29c198b9e9ce2781babe9a42e)
Całkowanie przez podstawienie
Jeśli funkcja rzeczywista
jest ciągła w przedziale
a funkcja
ma ciągłą pochodną w przedziale
i jest różnowartościowym odwzorowaniem
na
to:
wtedy i tylko wtedy, gdy
![{\displaystyle \int f{\big (}g(t){\big )}g'(t)\;\operatorname {d} t=F(g(t))+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fcbc3fb1d4d9870f162ce786a963cd52022d4e5)
Dlatego znając drugą całkę można porachować pierwszą, podstawiając
zamiast
Jeszcze łatwiej znając pierwszą całkę porachować drugą, podstawiając
zamiast
Stosując metodę podstawienia, można udowodnić następującą regułę, stosowanie której często upraszcza całkowanie:
- jeżeli
to ![{\displaystyle \int f(ax+b)dx={\frac {1}{a))F(ax+b)+C.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aef47538f8ef328aef4b243d6c2999dbbf0a03e)
Całkowanie funkcji wymiernych
Każdą funkcję wymierną można rozłożyć na sumę funkcji wielomianowej i skończonej liczby ułamków, każdy z których jest albo postaci
![{\displaystyle {\frac {A}{(x-a)^{n))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8350c2d36b7eff1e521131566a07b6714735a999)
albo postaci
gdzie ![{\displaystyle p^{2}-4q<0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6af764ee4a8ea215c8ba5511f182ff9bce64121a)
(
to liczba naturalna w obu przypadkach).
Ułamki pierwszego typu łatwo przecałkować stosując informacje z powyższych sekcji.
Do ułamków drugiego typu stosuje się przekształcenie:
![{\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{(x^{2}+px+q)^{n))}dx={\frac {B}{2))\int {\frac {2x+p}{(x^{2}+px+q)^{n))}dx+\left(C-{\frac {Bp}{2))\right)\int {\frac {1}{(x^{2}+px+q)^{n))}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5726845faa7e935da242fa001316a40baa98f501)
W pierwszym składniku tej sumy stosuje się podstawienie
W drugim składniku stosowany jest wzór rekurencyjny:
![{\displaystyle \int {\frac {1}{(T(x))^{n))}dx={\begin{cases}{\frac {2}{\sqrt {-\Delta ))}\operatorname {arctg} {\frac {2x+p}{\sqrt {-\Delta ))}&{\mbox{ dla ))n=1,\\{\frac {1}{(1-n)\Delta ))\left({\frac {2x+p}{(T(x))^{n-1))}+(4n-6)\int {\frac {1}{(T(x))^{n-1))}dx\right)&{\mbox{ dla ))n>1,\end{cases))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58077d97fdf9a8326282215101c9f189bd7a4c26)
gdzie:
![{\displaystyle T(x)=x^{2}+px+q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b4760e2f555dd44fa5a6e721c862763b585e6e)
![{\displaystyle \Delta =p^{2}-4q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e289c9fac91b2ac163c3845460afb1b58a4ecf56)
Całka z funkcji wymiernej to całka postaci
![{\displaystyle \int ((\frac {L(x)}{M(x)))dx}{:))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a420e63717b8779347b26473656126ff3935833f)
gdzie
oraz
są wielomianami
Rozpatrzmy trzy przypadki
1.
![{\displaystyle \deg L(x)\geqslant \deg M(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/514d2c9f2b39afae12a8b173821c0966825b824b)
Niech
![{\displaystyle \int ((\frac {L(x)}{M(x)))dx}=\int ((\frac {W(x)M(x)+R(x)}{M(x)))dx))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d7f0ff1d04edec71ad1c06cb1e3dc1916f5fb6f)
![{\displaystyle \int ((\frac {L(x)}{M(x)))dx}=\int {W(x)dx}+\int ((\frac {R(x)}{M(x)))dx))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0595a2361cd0b98d68d761bdd6cd4ed2fc9f6566)
Jeśli mamy stopień licznika większy lub równy stopniowi mianownika dzielimy licznik przez mianownik
2.
![{\displaystyle \gcd(M(x),M'(x))\neq const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ed5c9a1ab4dbefe4b23e029b2e3387ddff4a279)
![{\displaystyle \int ((\frac {R(x)}{M(x)))dx}={\frac {R_{1}(x)}{M_{1}(x)))+\int ((\frac {R_{2}(x)}{M_{2}(x)))dx))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e1983d4e0f439bd62fd75a4ba271b6dafa87fdc)
![{\displaystyle M_{1}(x)=\gcd(M(x),M'(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3e758874b12663eaae9c42e1d76e8d17e704ff9)
![{\displaystyle M(x)=M_{1}(x)M_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18a6e4818b0cbea79c80f58d044071669ddbd07)
Mianownik
posiada te same pierwiastki co mianownik
tyle że pojedyncze, a krotność pierwiastków mianownika
jest o jeden mniejsza niż krotność pierwiastków mianownika
![{\displaystyle \deg R_{1}(x)<\deg M_{1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c073c8d08570a2f0d7e9d322465cfcbfb3281a3)
![{\displaystyle \deg R_{2}(x)<\deg M_{2}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c12f0ff762cfb6a1cdb8a76e50281c9195ee06)
Za współczynniki wielomianów w licznikach przyjmujemy współczynniki literowe i różniczkujemy równość
aby je obliczyć
3.
![{\displaystyle \gcd(M_{2}(x),M'_{2}(x))=const}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86bae34662cf4ebb17471df5779cb80ea759fad5)
Niech
![{\displaystyle \int ((\frac {R_{2}(x)}{M_{2}(x)))dx}=\int ((\frac {A_{1)){x-a_{1))}dx}+\int ((\frac {A_{2)){x-a_{2))}dx}+\ldots +\int ((\frac {A_{k)){x-a_{k))}dx}+\int ((\frac {B_{1}x+C_{1)){x^{2}+p_{1}x+q_{1))}dx}+\int ((\frac {B_{2}x+C_{2)){x^{2}+p_{2}x+q_{2))}dx}+\ldots +\int ((\frac {B_{m}x+C_{m)){x^{2}+p_{m}x+q_{m))}dx}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d37bf22a05430ef3c84bc7814bd88dc0138bf539)
Całkowanie niektórych innych funkcji
Każdą całkę funkcji postaci
gdzie
jest funkcją wymierną, można obliczyć przez podstawienie[2]:
![{\displaystyle t=\operatorname {tg} \;{\tfrac {x}{2)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034832d763bc8be83aed2c63d611271d6582e0f5)
Wówczas
![{\displaystyle \operatorname {d} x={\tfrac {2\operatorname {d} t}{1+t^{2))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfaa1271bfcf49ab694be70b5e17ea52f603a40f)
![{\displaystyle \sin x={\tfrac {2t}{1+t^{2))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b99a61ddeb851d621fe31d634b6b95d73236b4dc)
![{\displaystyle \cos x={\tfrac {1-t^{2)){1+t^{2))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e24d01e124ad8954a79b6b360cd82e42f0e98077)
![{\displaystyle \operatorname {tg} \;x={\tfrac {2t}{1-t^{2))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5140380638dd586f554d377210b1bf22471b8cab)
![{\displaystyle \operatorname {ctg} \;x={\tfrac {1-t^{2)){2t)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba23eac6f05db0b55e016f9dcd73d22a2b13745)
![{\displaystyle \sec x={\tfrac {1+t^{2)){1-t^{2))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3160d599732c3e9844290a43bf5f16dcc43ebb)
![{\displaystyle \csc x={\tfrac {1+t^{2)){2t)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5c31a33295fd6fabdddee9b82a92d8436139361)
Funkcje postaci
![{\displaystyle R\left({\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d))}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/addcc2d980925ad931942536e11a715a59b3a21b)
gdzie
daje się sprowadzić do funkcji wymiernych przez podstawienie
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {ax+b}{cx+d))}=t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/119bf58b03bfa1c7135d0495e6946f9182b06deb)
skąd
![{\displaystyle x={\frac {dt^{n}-b}{a-ct^{n))}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c742e6adf3f7826b789a5355b2c9081962169aff)
Dla funkcji postaci
![{\displaystyle R(x,\ {\sqrt {ax^{2}+bx+c))),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d931fa0de4081abc79d6b005623efbf0e2982499)
gdzie
stosuje się tzw. pierwsze podstawienie Eulera
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c))=(t-x){\sqrt {a)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b46c8f5651913722465f5436fa1ee871fa7fbd)
skąd
![{\displaystyle x={\frac {at^{2}-c}{2at+b)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efe327fadc1b80ab81bc376582e3b363155e56aa)
Natomiast w przypadku
![{\displaystyle a<0,\ \Delta =b^{2}-4ac>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/012bc461b5f9e3ded75e338904b8b6563d33e2af)
stosowane jest drugie podstawienie Eulera
![{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c))=\left(x+{\frac {b}{2x))\right)t-{\frac {1}{2)){\sqrt {\frac {\Delta }{-a))},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5738bd8060ac46ce0d61460310c4667bb20e6f7c)
skąd
![{\displaystyle x={\frac {t}{t^{2}-a)){\sqrt {\frac {\Delta }{-a))}-{\frac {b}{2a)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2c02023e0c14fa8474a95a6ffc9b12d93150fdb)