Ruch harmoniczny, drgania harmoniczne[1] – ruch drgający, w którym na ciało działa siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z jego położenia równowagi, skierowana zawsze w stronę punktu równowagi. Wykres wychylenia ciała od położenia równowagi w zależności od czasu jest tzw. krzywą harmoniczną (np. sinusoidą).
Ruch harmoniczny jest najprostszym rodzajem drgań. Przykładem może być modelowy ruch ciężarka na sprężynie.
Drgania dowolnego rodzaju, nawet bardzo złożone, można przedstawić w postaci sumy drgań harmonicznych o różnych częstotliwościach i amplitudach. Znajdowanie takich przedstawień jest zadaniem analizy harmonicznej.
Ciało porusza się ruchem harmonicznym prostym, jeżeli działa na nie siła o wartości proporcjonalnej do wychylenia ciała z położenia równowagi i skierowana w stronę położenia równowagi
Częstotliwość (częstość) drgań zależy od i następująco:
oraz
Faza drgań wiąże się z położeniem ciała w momencie rozpoczęcia pomiaru czasu.
Własnością ruchu harmonicznego jest to, że inne wielkości (prędkość, przyspieszenie) też są opisane przez równanie harmoniczne. Np. przyjmując pierwsze z rozwiązań na otrzymamy następujące wzory na prędkość i przyspieszenie[2]:
Rozwiązania równania różniczkowego oscylatora harmonicznego można zapisać w innych, równoważnych postaciach, np.
gdzie: – stałe zależne od warunków początkowych. Rozwiązania o takiej postaci nazywamy harmonikami.
Dodając powyższe wzory i korzystając z własności jedynki trygonometrycznej oraz z zależności obliczymy całkowitą energię ciała drgającego
Całkowita energia w ruchu harmonicznym prostym jest stała, niezależna od czasu. Wynik ten jest zgodny z założeniem, że na ciało drgające działa jedynie siła sprężysta zaś siły oporu są zerowe lub pomijalne.
Mimo stałości energii całkowitej, energia kinetyczna i potencjalna zmieniają się w czasie.
W rzeczywistych sytuacjach fizycznych zazwyczaj nie można pominąć sił oporu. Np. wahadło wprawione w ruch po pewnym czasie zatrzyma się. Przyczyną tego jest działanie oporu powietrza oraz rozpraszanie energii w miejscu zamocowania wahadła.
Niech na ciało działa – oprócz siły harmonicznej – siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości ciała:
jest liczbą rzeczywistą. Wielkość jest częstotliwością drgań układu, na który działa siła tłumiąca. Częstotliwość ruchu tłumionego nazywana jest zmodyfikowaną częstością drgań: jest ona mniejsza od częstotliwości drgań układu nietłumionego i to tym bardziej, im większy jest współczynnik tłumienia
Rozwiązanie równania ruchu oscylatora tłumionego można wyrazić w postaci:
Stałe i zależą od warunków początkowych według następujących związków:
gdzie:
– położenie początkowe,
– prędkość początkowa.
Powyższe rozwiązanie składa się z dwóch czynników:
– malejącego wykładniczo z czasem,
– oscylacyjnego, zmieniającego się z częstością
Dla słabego tłumienia czynnik wykładniczy jest w ciągu jednego cyklu w zasadzie stały. Wówczas można przyjąć, że ruch jest harmoniczny z malejącą amplitudą. W przypadku słabego tłumienia ciało drgające może wykonać wiele oscylacji do chwili zatrzymania się. Przykładem jest zwykłe wahadło – ruch takiego wahadła można opisać z dobrym przybliżeniem jako ruch harmoniczny o stopniowo malejącej amplitudzie.
Drugi czynnik powyższego wyrażenia jest wolnozmienny, a nie oscylacyjny jak w przypadku słabego tłumienia. W przypadku silnego tłumienia nie występuje ruch oscylacyjny, lecz zanik wychylenia w czasie jest opisany zależnością zbliżoną do eksponencjalnej.
Na wykresie fazowym z lewej pokazano krzywe fazowe dla ruchu harmonicznego prostego i ruchu harmonicznego tłumionego. Widać, że w przypadku braku tłumienia prędkość i wychylenie zmieniają się cyklicznie, zaś w przypadku tłumienia krzywa fazowa zmierza w kierunku punktu równowagi
Dla wykreślonych krzywych fazowych przyjęto następujące parametry:
Dowolny ruch drgający ciała można traktować z dobrym przybliżeniem jako drganie harmoniczne, jeżeli spełnione są dwa warunki:
amplituda drgań ciała jest dostatecznie mała
ciało drga tak, że energię potencjalną ciała da się rozwinąć w szereg Taylora w zależności od wychylenia ciała od położenia równowagi, co w praktyce oznacza, że posiada ciągłą pierwszą i drugą pochodną w pewnym otoczeniu punktu równowagi.
Jest to tzw. przypadek małych drgań. W przypadku dużych amplitud drgań wahadło matematyczne wykonuje dość złożony ruch. Jednak gdy drgania wahadła mają niewielką amplitudę, to ruch wahadła można uznać za ruch harmoniczny.
Aby to wykazać, załóżmy, że ciało znajdujące się w położeniu ma stan równowagi trwałej. Oznacza to, że w punkcie energia potencjalna tego ciała ma wartość minimalną Jeżeli funkcja posiada rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu to możemy zapisać:
gdzie oznacza odchylenie ciała od położenia równowagi Drugi wyraz rozwinięcia zeruje się
– jest to warunek konieczny występowania minimum energii w położeniu Ponadto, dla dostatecznie małych wyraz zawierający i kolejne wyrazy są pomijalnie małe wobec wyrazu z (To, kiedy to jest słuszne, musi być ocenione na podstawie zależności w konkretnym zagadnieniu). Z dobrym przybliżeniem możemy więc napisać:
gdzie przyjęliśmy zamiast napisaliśmy Z powyższej zależności możemy wyznaczyć siłę działającą na ciało, licząc ujemną wartość gradientu energii potencjalnej:
Otrzymaliśmy wzór na siłę działającą na ciało w ruchu harmonicznym.