Em Topologia, uma base de um espaço topológico é uma coleção de abertos que gera todos abertos, de forma que qualquer aberto é uma união de abertos da base.[1][2]
Em outras palavras, uma coleção de abertos B é uma base de uma topologia em um conjunto X se, e somente se:
Propriedades
O contra-exemplo acima sugere que, para que uma coleção de subconjuntos de X seja uma base para alguma topologia de X, basta satisfazer as seguintes propriedades:
- Qualquer elemento de X é elemento de algum elemento da base
- Dado qualquer elemento a de qualquer interseção de quaisquer dois membros da base, existe um outro membro A da base, totalmente contido nessa interseção, tal que
Definição alternativa
Uma definição alternativa de base é:[3]
- Um subconjunto B de uma topologia em um conjunto X é uma base quando todo elemento x de algum aberto U da topologia é elemento de um elemento V da base, e este elemento da base é um subconjunto do aberto inicial U
Ou seja:
É fácil mostrar que as duas definições são equivalentes[1].
Sub-base
Como uma coleção S de subconjuntos de X pode não ser uma base para uma topologia de X, qual é a menor topologia tal que os membros de S são abertos? Isso leva à definição de sub-base: S é uma sub-base de uma topologia quando a coleção das interseções finitas de membros de S é uma base de .
Note-se que qualquer coleção de conjuntos é a sub-base de alguma topologia.