Na matemática, conjuntos difusos, conjuntos nebulosos ou conjuntos fuzzy, são conjuntos aos quais os elementos têm graus de pertinência. Conjuntos difusos foram apresentados por Lotfi A. Zadeh^[1] e Dieter Klaua^[2] em 1965 como uma extensão da noção clássica de conjuntos. Ao mesmo tempo, Salii (1965) definiu mais um tipo de estrutura chamada relação-L, que ele estudou em um contexto de algébra abstrata. Relações difusas, que são usadas atualmente em diferentes áreas, como linguística (De Cock, et al., 2000), tomada de decisão (Kuzmin, 1982) e clustering (Bezdek, 1978), são casos especiais de relações-L quando L é um intervalo unitário [0,1].

Em teoria clássica dos conjuntos, a pertinência de elementos a um conjunto é avaliada em termos de acordo binário a uma condição bivalente — um elemento pertence ou não ao conjunto. No entanto, a teoria de conjuntos difusos permite a avaliação gradual da associação de elementos em um conjunto; isto é descrito como um auxílio a função de pertinência valorada no intervalo unitário real [0, 1]. Conjuntos difusos generalizam conjuntos clássicos, uma vez que a função indicadora dos conjuntos clássicos são casos especiais das funções de pertinência dos conjuntos difusos, somente se o último possui valores 0 ou 1.^[3] Na teoria dos conjuntos difusos, conjuntos bivalentes clássicos são frequentemente chamados de conjuntos crisp. A teoria dos conjuntos difusos pode ser usada em uma larga escala de domínios em que a informação é incompleta ou imprecisa, tal como bioinformática.^[4]

Tem sido sugerido por Thayer Watkins que a etnia de Zadeh é um exemplo de conjunto difuso pois "seu pai era Turco-Iraniano e sua mãe era Russa. Seu pai foi um jornalista em Baku, Azerbaijão e na União Soviética. Lotfi nasceu em Baku em 1921 e viveu lá até sua família se mudar para Tehran em 1931."^[5]

Um conjunto difuso é um par ${\displaystyle (U,m)}$ onde ${\displaystyle U}$ é um conjunto e ${\displaystyle m\colon U\rightarrow [0,1].}$

${\displaystyle \forall x\in U,}$ o valor de ${\displaystyle m(x)}$ é chamado de grau de pertinência de ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle (U,m).}$ Para um conjunto finito ${\displaystyle U=\{x_{1},\dots ,x_{n}\},}$ o conjunto difuso ${\displaystyle (U,m)}$ é frequentemente denotado por ${\displaystyle \{m(x_{1})/x_{1},\dots ,m(x_{n})/x_{n}\}.}$

Seja ${\displaystyle x\in U.}$ Então, ${\displaystyle x}$ é chamado de não incluso no conjunto difuso ${\displaystyle (U,m)}$ se ${\displaystyle m(x)=0}$, ${\displaystyle x}$ é chamado totalmente incluso se ${\displaystyle m(x)=1}$, e ${\displaystyle x}$ é chamado membro difuso se ${\displaystyle 0<m(x)<1}$.^[6] O conjunto ${\displaystyle \{x\in U\mid m(x)>0\))$ é chamado de suporte de ${\displaystyle (U,m)}$ e o conjunto ${\displaystyle \{x\in U\mid m(x)=1\))$ é chamado seu núcleo. A função ${\displaystyle m}$ é chamada de função de pertinência de um conjunto difuso ${\displaystyle (U,m).}$

Algumas vezes, as variantes mais gerais da noção de difusão são usadas, com as funções de pertinência tomando valores em uma (fixa ou variável) álgebra ou estrutura ${\displaystyle L}$ de um dado tipo; normalmente se é exigido que tenha pelo menos um poset ou reticulado. Estes são normalmente chamados de conjuntos L-difusos, para distingui-los de valores sobre o intervalo unitário. As funções de pertinência usuais com valores em [0, 1] são então chamadas funções de pertinência [0, 1]-valoradas. Esses tipos de generalizações foram primeiramente consideradas em 1967 por Joseph Goguen, que foi um aluno de Zadeh.^[7]

Como uma extensão do caso da lógica multivalorada, valorações (${\displaystyle \mu :{\mathit {V))_{o}\to {\mathit {W))}$) de variáves proposicionais (${\displaystyle {\mathit {V))_{o))$) em um conjunto de graus de pertinência (${\displaystyle {\mathit {W))}$) podem ser consideradas como funções de pertinência mapeando predicados em conjuntos difusos (ou mais formalmente, em um conjunto ordenado de pares difusos, chamado de uma relação difusa). Com essas valorações, a lógica multivalorada pode ser estendida para permitir premissas a partir das quais conclusões gradativas podem ser extraídas.^[8]

Esta extensão é às vezes chamada "lógica difusa no sentido estrito" ao contrário da "lógica de sentido amplo," que originou-se nos campos da engenharia de controle automatizado e engenharia de conhecimento, e que engloba muitos tópicos envolvendo conjuntos difusos e "raciocínio aproximado".^[9]

Aplicações industriais de conjuntos difusos no contexto de "lógica difusa em um sentido amplo" podem ser encontradas em lógica difusa.

Um número difuso é um conjunto difuso convexo e normalizado ${\displaystyle {\tilde {\mathit {A))}\subseteq \mathbb {R} }$ em que a função de pertinência é pelo menos segmentalmente contínua e tenha o valor funcional ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1}$ em precisamente um elemento.

Isso pode ser comparado ao jogo chamado "adivinhe seu peso", onde alguém tenta adivinhar o peso do seu oponente com palpites cada vez mais corretos, e o jogador "ganha" se ele ou ela se aproxima o suficiente ao peso do oponente com o peso real completamente correto (mapeando cada um pela função de pertinência).

Um intervalo difuso é um conjunto incerto ${\displaystyle {\tilde {\mathit {A))}\subseteq \mathbb {R} }$ com um intervalo médio cujos elementos possuem o valor da função de pertinência ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1}$. Como em números difusos, a função de pertinência deve ser convexa, normalizada, ao menos segmentalmente contínua.^[10]

A equação de relação difusa é uma equação da forma A · R = B, onde A e B são conjuntos difusos, R é uma relação difusa, e A . R representa a composição de A com R.

^[11] Seja A um conjunto não-vazio e P(A) o conjunto das partes de A. A função de conjunto ${\displaystyle Cr}$ é conhecida como a medida de credibilidade se ela satisfaz as seguintes condições:

• Axioma 1: ${\displaystyle Cr\lbrace A\rbrace =1}$
• Axioma 2: Se B é um subconjunto de C, então, ${\displaystyle Cr\lbrace B\rbrace \leq Cr\lbrace C\rbrace }$
• Axioma 3: ${\displaystyle Cr\lbrace B\rbrace +Cr\lbrace B^{c}\rbrace =1}$
• Axioma 4: ${\displaystyle Cr\lbrace \cup A_{i}\rbrace =\sup _{i}(Cr(A_{i}))}$, para todo evento ${\displaystyle A_{i))$ com ${\displaystyle \sup _{i}Cr\lbrace A_{i}\rbrace <0.5}$

Cr{B} indica o quão frequentemente o evento B ocorre.

^[12] Seja A uma varíável difusa com a função de pertinência u. Então para todo conjunto B de números reais, temos

${\displaystyle Cr\lbrace A\in B\rbrace ={\dfrac {1}{2))\left(\sup _{t\in B}u(t)+1-\sup _{t\in B^{c))u(t)\right)}$

^[12] Seja A uma variável difusa. Então o valor esperado é dado como

${\displaystyle E[A]=\int _{0}^{\infty }Cr\lbrace A\geq t\rbrace \,dt-\int _{-\infty }^{0}Cr\lbrace A\leq t\rbrace \,dt.}$

^[13] Seja A uma variável difusa com uma função de pertinência contínua. Então sua entropia é

${\displaystyle H[A]=\int _{-\infty }^{\infty }S(Cr\lbrace A\geq t\rbrace )\,dt.}$

onde

${\displaystyle S(y)=-y\,{\text{ln))y-(1-y)\,{\text{ln))(1-y)}$

Existem muitas construções matemáticas semelhantes ou mais gerais que os conjuntos difusos. Desde que os conjuntos difusos foram apresentados em 1965, uma grande quantidade de novas construções matemáticas e teorias de tratamento de imprecisão, inexatidão, ambiguidade e incerteza têm sido desenvolvidas. Algumas dessas construções e teorias são extensões da teoria dos conjuntos difusos, enquanto outras tentam modelar matematicamente a imprecisão e incerteza de diferentes maneiras (Burgin and Chunihin, 1997; Kerre, 2001; Deschrijver and Kerre, 2003).

A diversidade de tais construções e teorias correspondentes incluem:

Referências

• Uncertainty model Fuzziness
• Fuzzy Systems Journal
• ScholarPedia
• The Algorithm of Fuzzy Analysis
• Fuzzy Image Processing