Em matemática, a integral de Riemann–Stieltjes é uma generalização da integral de Riemann, nomeada devido a Bernhard Riemann e Thomas Joannes Stieltjes.

A integral de Riemann–Stieltjes de uma função resultante em valores reais f de uma variável real em relação a uma função real g é notado para

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

e definida ser o limite, como a subpartição da partição

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b\))$

do intervalo [a, b] aproximando-se de zero, da soma de aproximação

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})(g(x_{i+1})-g(x_{i}))}$

onde c_i está no i-ésimo subintervalo [x_i, x_i+1]. As duas funções f e g são respectivamente chamadas o integrando e o integrador.

O "limite" é aqui entendido no seguinte sentido: existe um certo número A (o valor da integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε > 0 existe uma partição P_ε tal que para cada partição P com subpartição (P) < mesh(P_ε), e para cada escolha de pontos c_i em [x_i, x_i+1],

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\epsilon .}$

• Hildebrandt, T. H. (1938), "Definitions of Stieltjes Integrals of the Riemann Type", The American Mathematical Monthly 45 (5): 265–278, MR1524276, ISSN 0002-9890
• Pollard, Henry (1920), "The Stieltjes integral and its generalizations", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 19