O teste da integral (português brasileiro) ou critério do integral (português europeu) é um método para estabelecer a convergência de séries numéricas comparando a soma de seus termos à integral de uma função adequada. É um dos testes de convergência mais precisos entre os possiveis.
Seja uma série de números positivos com e uma função com as seguintes propriedades:
Então converge se e somente se converge. Geralmente
Como é decrescente e , podemos enquadrar os termos da seguinte forma:
integrando no intervalo, temos:
Somando até :
Agora basta observar que implica que a integral ou tende a infinito ou converge. E resultado segue pelo teste da comparação.
O Critério do Integral faz uma "ponte" entre dois importantes capítulos da base matemática, o Cálculo Integral e as Séries.
Ele pode ser enunciado sob a condição única da monotonia!
Em breve copiarei para aqui a demonstração completa de Jaime Campos Ferreira. Jmegsalazar 23h57min de 9 de fevereiro de 2021 (UTC)
Considera a Série de Dirichlet com expoente :
e considere a função:
é sabido que:
Portanto, tal série converge.