În matematică, dat fiind un grup G cu un operator binar ∗, o submulțime H a lui G se numește subgrup al lui G dacă H formează și el un grup cu operatorul ∗. Mai exact, H este subgrup al lui G dacă restricționarea lui ∗ la H × H este operator de grup pe H. Aceasta se notează de regulă cu H ≤ G, citit ca „H este subgrup al lui G”.

Subgrupul trivial al oricărui grup {e} constă doar din elementul neutru.

Un subgrup propriu al grupului G este un subgrup H a cărui mulțime este submulțime proprie a lui of G (adică H ≠ G). Aceasta se notează de regulă ca H < G, adică "H este subgrup propriu al lui G”. Unii autori exclud și grupul trivial din definiția subgrupului propriu (adică {e} ≠ H ≠ G).^[1][2]

Daca H este subgrup al lui G, atunci G este uneori denumit supergrup al lui H.

Aceleași definiții se aplică mai general când G este un semigrup arbitrar, dar acest articol tratează doar subgrupurile unor grupuri. Grupul G este uneori notat cu perechea ordonată (G, ∗), de regulă pentru a accentua operațiunea ∗ atunci când G conține și alte structuri algebrice.

Proprietăți de bază ale subgrupurilor

• O submulțime H a grupului G este subgrup al lui G dacă și numai dacă este nevidă și închisă în raport cu produsul și inversa. (Condițiile închiderii înseamnă: oricare ar fi a și b din H, atunci ab și a⁻¹ sunt și ele în H. Aceste condiții se pot combina într-una singură echivalentă: oricând a și b sunt în H, atunci ab⁻¹ este tot în H.) În cazul când H este finit, atunci H este subgrup dacă și numai dacă H este închis în raport cu produsul. (În acest caz, orice element a din H generează un subgrup finit ciclical lui H, iar inversa lui a este a⁻¹ = a^{n − 1}, unde n este ordinul lui a.)
• Condiția de mai sus se poate formula în termeni de omomorfism; adică, H este subgrup al grupului G dacă și numai dacă H este submulțime a lui G și există un omomorfism de includere (adică i(a) = a oricare ar fi a) de la H la G.
• Elementul neutru al unui subgrup este elementul neutru al grupului: dacă G este grup cu elementul neutru e_G, și H este subgrup al lui G cu elementul neutru e_H, atunci e_H = e_G.
• Elementul simetric al unui element dintr-un subgrup este element simetric al elementului și în grupː dacă H este un subgrup al grupului G, și a și b sunt elemente din H astfel încânt ab = ba = e_H, atunci ab = ba = e_G.
• Intersecția subgrupurilor A și B este și ea un subgrup.^[3] Reuniunea subgrupurilor A și B este tot subgrup dacă și numai dacă unul dintre ele îl conține pe celălalt, întrucât, de exemplu 2 și 3 fac parte din reuniunea lui 2Z cu 3Z, dar suma lor, 5, nu face parte. Un alt exemplu este reuniunea axelor x și y din planul complex (cu operația de adunare); ambele sunt subgrupuri ale planului complex, dar reuniunea lor nu. Acesta este și un exemplu de două subgrupuri a căror intersecție este subgrupul trivial, format doar din elementul neutru.
• Dacă S este o submulțime a lui G, atunci există unsubgrup minim ce conține S, ce poate fi găsită luând intersecția tuturor grupurilor ce conțin S; el se notează cu <S> și este denumit subgrup generat de S. Un element din G face parte din <S> dacă și numai dacă este produs finit de elemente din S și inversele lor.
• Orice element a dintr-un grup G generează subgrupul ciclic <a>. Dacă <a> este izomorf cu Z/nZ pentru un întreg pozitiv n, atunci n este cel mai mic întreg pozitiv pentru care aⁿ = e, iar n se numește ordinul lui a. Dacă <a> este izomorf cu Z, atunci se spune că a are ordin infinit.

Codomenii și teorema lui Lagrange

Dat fiind un subgrup H și un a din G, se definește codomeniul stâng aH = {ah : h în H}. Întrucât a are element simetric, aplicația φ : H → aH dată de φ(h) = ah este bijectivă. Mai mult, orice element din G este conținut într-un singur codomeniu stâng al lui H; codomeniile stângi sunt clase de echivalență corespunzătoare relației de echivalență a₁ ~ a₂ dacă și numai dacă a₁⁻¹a₂ face parte din H. Numărul de codomenii drepte ale lui H se numește indicele lui H în G și se notează cu [G : H].

Teorema lui Lagrange afirmă că pentru un grup finit G și un subgrup H,

unde cu |G| și  |H| se notează ordinul lui G, respectiv H. În particular, ordinul fiecărui subgrup al lui G (și ordinul fiecărui element al lui G) trebuie să fie divizor al lui |G|.

Codomeniile drepte sunt definite analog: Ha = {ha : h în H}. Ele sunt și clase de echivalență pentru o relație de echivalență corespunzătoare și numărul lor este egal cu [G : H].

Dacă aH = Ha oricare ar fi a din G, atunci despre H se spune că este subgrup normal. Fiecare subgrup de indice 2 este normal: codomeniul stâng și cel drept sunt doar subgrupul și complementul său. Mai general, dacă p este cel mai mic număr prim care divide ordinul unui grup finit G, atunci orice subgrup de indice p (dacă există) este normal.

Exemplu: Subgrupurile lui Z₈

Fie G grupul ciclic Z₈ cu elementele

și a cărui operație de grup este is adunarea modulo opt. Tabela sa Cayley este

Acest grup are două subgrupuri netriviale: J={0,4} și H={0,2,4,6}, unde J este și un subgrup al lui H. Tabela Cayley pentru H este pătratul din stânga-sus al tabelei Cayley pentru G. Grupul G este ciclic, și la fel și subgrupurile sale. În general, subgrupurile grupurilor ciclice sunt și ele ciclice.

Note

Bibliografie

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (ed. 2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
• Hungerford, Thomas (1974), Algebra (ed. 1st), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
• Artin, Michael (2011), Algebra (ed. 2nd), Prentice Hall, ISBN 9780132413770 .