Uniformni politop je politop, ki ga sestavljajo facete z nižjo razsežnostjo. Uniformni politopi z razsežnostjo 2 so pravilni mnogokotniki. To je posplošitev starejše kategorije polpravilnih politopov, vsebuje pa tudi pravilne politope
Skoraj vsak uniformni politop se lahko naredi s pomočjo Wythoffove konstrukcije in se prikaže s Coxeter-Dinkinovim diagramom. Pomembnejše izjeme vključujejo veliko antiprizmo v štirih razsežnostih. Izraz je za konveksne uniformne politope skoval ameriški matematik Norman Johnson (rojen 1930).
Pravilni n-politop ima n-ti red rektifikacije. Ničelna rektifikacija nam da začetno obliko. -ta rektifikacija je dualna. Prva rektifikacija spremeni robove v oglišča, druga rektifikacija spremeni stranske ploskve v oglišča. Tretja rektifikacija spremeni celice v oglišča.
Razširjeni Schläflijev simbol se lahko uporabi za predstavitev rektificiranih oblik z
Znan je še poseben postopek, ki se imenuje alternacija. Ta postopek izmenoma odstrani vsako drugo oglišče v politopu, ki ima samo parne stranske ploskve. Alternirani omniprisekani politop se imenuje prirezani politop.
Vedno lahko konstruiramo takšen politop
Alternacija velikega kubooktaedra naredi prirezano kocko (snub kocka).
Uniformni politopi selahko konstruirajo iz njihovih slik oglišč, ki predstavljajo razporeditev robov, stranskih ploskev, celic itd. okoli vsakega oglišča. Uniformni politopi predstavljeni s Coxeter-Dinkinovimi diagrami označujejo aktivna zrcala z obroči imajo zrcalno simetrijo in jih lahko konstruiramo z rekurzivnim zrcaljenjem slike oglišč.
Manjše število nezrcalnih uniformnih politopov ima samo eno sliko oglišč toda se ne ponavljajo s samo enim enostavnim zrcaljenjem slike oglišč.
Edini enorazsežni politop je del premice (ravne črte). Pripada Coxeterjevi družini A1
V dveh razsežnostih je neskončno velika skupina konveksnih uniformnih politopov to so pravilni mnogokotniki od katerih je najenostavnejši enakostranični trikotnik. Nekaj prvih pravilnih mnogokotnikov je prikazanih v naslednji preglednici:
ima | trikotnik (2-simpleks) |
kvadrat (2-ortopleks) (2-kocka) |
petkotnik | šestkotnik | sedemkotnik | osemkotnik |
---|---|---|---|---|---|---|
Schläflijev | {3} | {4} | {5} | {6} | {7} | {8} |
Dinkin | ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() |
slika | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Znana je tudi neskončna množica zvezdnih mnogokotnikov (eden za vsako racionalno število večje od 2), toda ti niso konveksni. Najenostavnejši primer je pentagram, ki odgovarja racionalnemu številu 5/2.
ime | pentagrami | heptagrami | oktagram | eneagrami | dekagram | ...n-agrami | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Schläfli | {5/2} | {7/2} | {7/3} | {8/3} | {9/2} | {9/4} | {10/3} | {p/q} |
Dinkin | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
slika | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
V treh razsežnostih postane vse še bolj zanimivo. Obstaja pet pravilnih poliedrov, ki so znani kot platonska telesa:
Name | Schläfli {p,q} |
Dinkin![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
Slika (prosojna) |
Slika (telo) |
Slika (krogla) |
stranske ploskve {p} |
robovi | oglišča {q} |
simetrija | dualni |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
tetraeder (3-simpleks) (piramida) |
{3,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
4 {3} |
6 | 4 {3} |
Td | (self) |
kocka (3-kocka) (heksaeder) |
{4,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
6 {4} |
12 | 8 {3} |
Oh | Octahedron |
oktaeder (3-ortopleks) |
{3,4} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
8 {3} |
12 | 6 {4} |
Oh | Cube |
dodekaeder | {5,3} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
12 {5} |
30 | 20 {3}2 |
Ih | ikozaeder |
ikozaeder | {3,5} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
20 {3} |
30 | 12 {5} |
Ih | dodekaeder |
Dodatno k tem telesom je znanih še 13 polpravilnih poliedrov, ki so znani kot arhimedska telesa. Dobi se jih s pomočjo Wythoffove konstrukcije ali z uporabo postopkov kot je prisekavanje platonskih teles, kar je prikazano v naslednji preglednici:
osnovno telo | prisekano | rektificirano | dvojno prisekano | dvojno rektificirano (dualno) |
Kantelirano | omniprisekano (kantiprisekano) |
Prirezana oblika | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
tetraedrska 3-3-2 |
![]() {3,3} |
![]() (3.6.6) |
![]() (3.3.3.3) |
![]() (3.6.6) |
![]() {3,3} |
![]() (3.4.3.4) |
![]() (4.6.6) |
![]() (3.3.3.3.3) |
Octahedral 4-3-2 |
![]() {4,3} |
![]() (3.8.8) |
![]() (3.4.3.4) |
![]() (4.6.6) |
![]() {3,4} |
![]() (3.4.4.4) |
![]() (4.6.8) |
![]() (3.3.3.3.4) |
Icosahedral 5-3-2 |
![]() {5,3} |
![]() (3.10.10) |
![]() (3.5.3.5) |
![]() (5.6.6) |
![]() {3,5} |
![]() (3.4.5.4) |
![]() (4.6.10) |
![]() (3.3.3.3.5) |
Obstaja tudi neskončna množica prizem, po ena za vsak pravilni mnogokotnik ter pripadajoča množica antiprizem.
# | Name | Picture | Tiling | Vertex figure |
Coxeter-Dinkin and Schläfli symbols |
---|---|---|---|---|---|
P2p | prizma | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t{2,p} |
Ap | antiprizma | ![]() |
![]() |
![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t{2,p} |
Nekonveksni uniformni poliedri vključujejo še 4 pravilne poliedre, ki jih poznamo kot Kepler-Poinsotovi poliedri ter 53 polpravilnih nekonveksnih poliedrov. Obstajata tudi dve neskončni množici zvezdnih prizem (po ena za vsak zvezdni mnogokotnik) ter zvezdne antiprizme (po ena za vsako racionalno število večje od 3/2).
Wythoffove uniformne poliedre in tlakovanja lahko definiramo z uporabo Wythoffovega simbola, ki določa osnovno področje objekta. Razširitev Schläflijeve notacije se lahko uporabi za vse razsežnosti.
postopek | razširjeni Schläflijevi simboli |
Coxeter- Dinkinov diagram |
Wythoff symbol |
Položaj | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
(2) | (1) | (0) | (0,1) | (0,2) | (1,2) | ||||||
starševska | t0{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
q | 2 p | {p} | {} | -- | -- | -- | {} | ||
rektificirano | t1{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2 | p q | {p} | -- | {q} | -- | {} | -- | ||
dvojno rektificirano (or dualni) |
t2{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
p | 2 q | -- | {} | {q} | {} | -- | -- | ||
prisekan | t0,1{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2 q | p | {2p} | {} | {q} | -- | {} | {} | ||
dvojno prisekan (ali prisekan dual) |
t1,2{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2 p | q | {p} | {} | {2q} | {} | {} | -- | ||
kantelirano (ali razširjeno) |
t0,2{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
p q | 2 | {p} | {}x{} | {q} | {} | -- | {} | ||
kantiprisekano (ali omniprisekano) |
t0,1,2{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
2 p q | | {2p} | {}x{} | {2q} | {} | {} | {} | ||
prisekan | s{p,q} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
| 2 p q | {p} | {3} {3} |
{q} | -- | -- | -- |
![]() |
![]() generiranje trikotnikov |
V štirih razsežnostih obstaja 6 konveksnih pravilnih polihoronov, 17 prizem zgrajenih na platonskih in arhimedskih telesih in dve neskončni množici prizem in konveksnih antiprizem ter duoprizem. Razen tega imamo še 41 konveksnih polpravilnih polihoronov vključno z neWythoffovimi velikimi antiprizmami in prirezanimi 24-celicami. Obe skupini od teh posebnih polihoronov sta sestavljeni iz podgrup oglišč 600-celic.
Štirirazsežni nekonveksni uniformni politopi so prešteti. Vključujejo 10 pravilnih nekonveksnih polihoronov ( Schläfli-Hessovi polihoroni) in 57 prizem osnovanih na nekonveksnih uniformnih poliedrih ter tri neskončne skupine zvezdnih prizem osnovanih na zvezdnih antiprizmah, duoprizme nastale kot množenje dveh zvezdnih mnogokotnikov in duoprizme, ki nastanejo z množenjem običajnih mnogokotnikov z zvezdnimi mnogokotniki. Obstaja tudi neznano število polihoronov, ki ne spadajo v zgornje skupine. Preko tisoč so jih doslej našli.
A4 | BC4 | D4 | F4 | GH4 | ||
---|---|---|---|---|---|---|
[3,3,3]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[4,3,3]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[31,1,1]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[3,4,3]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
[5,3,3]![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ||
5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,3} |
16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,4} |
teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {4,3,3} |
polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {31,1,1} |
24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,4,3} |
600-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {3,3,5} |
120-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {5,3,3} |
rektificirana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{3,3,3} |
rektificirana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{3,3,4} |
rektificirani teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{4,3,3} |
rektificirani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{31,1,1} |
rektificirana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{3,4,3} |
rektificirana 600-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{3,3,5} |
rektificirana 120-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{5,3,3} |
prirezana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{3,3,3} |
prirezana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{3,3,4} |
prisekani![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{4,3,3} |
prisekani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{31,1,1} |
prirezana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{3,4,3} |
prirezana 600-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{3,3,5} |
prirezana 120-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{5,3,3} |
kantelirana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{3,3,3} |
kantelirana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{3,3,4} |
kantelirani teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{4,3,3} |
kantelirani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{31,1,1} |
kantelirana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{3,4,3} |
kantelirana 600-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{3,3,5} |
kantelirana 120-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{5,3,3} |
runcinirana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,3{3,3,3} |
runcinirana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,3{3,3,4} |
runcinirani teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,3{4,3,3} |
runcinirana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,3{3,4,3} |
runcinirana 600-celica runcinirana 120-celica ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,3{3,3,5} | ||
dvojno prirezana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{3,3,3} |
dvojno prirezana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{3,3,4} |
dvojno prisekani teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{4,3,3} |
dvojno prirezana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{3,4,3} |
dvojno prirezana 600-celica dvojno prirezana 120-celica ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{3,3,5} | ||
cantiprirezana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{3,3,3} |
kantiprirezana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{3,3,4} |
kantiprisekani teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{4,3,3} |
kaniprisekani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{31,1,1} |
kantiprirezana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{3,4,3} |
kantiprirezana 600-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{3,3,5} |
kantiprirezana 120-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{5,3,3} |
runciprirezana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,3{3,3,3} |
runciprirezana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,3{3,3,4} |
runciprisekani teserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,3{4,3,3} |
runcikantelirani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2,3{31,1,1} |
runciprirezana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,3{3,4,3} |
runciprirezana 600-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,3{3,3,5} |
runciprirezana 120-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,3{5,3,3} |
omniprirezana 5-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2,3{3,3,3} |
omniprirezana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2,3{3,3,4} |
omniprisekaniteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2,3{3,3,4} |
omniprisekani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2,3{31,1,1} |
omniprirezana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2,3{3,4,3} |
omniprirezana 120-celica omniprirezana 600-celica ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2,3{5,3,3} | |
alteternirana kantiprirezana 16-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() h0,1,2{3,3,4} |
prirezani polteserakt![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() s{31,1,1} |
alternirana prisekana 24-celica![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() h0,1{3,4,3} |
V naslednji preglednici je definiranih 15 oblik. Vsako prisekanje tvori obliko iz ene ali štirih rst celic, ki se nahajajo na mestih označenih z 0, 1, 2, 3 kot je to označeno zgoraj. Celice so označene z oznakami za prisekovanje:
rdeče ozadje prikazuje prisekanja osnovnih oblik in modro prisekanja dualnih oblik
operacija | razširjeni Schläflijevi simboli |
Coxeter- Dinkinov diagram |
položaj | |||
---|---|---|---|---|---|---|
(3) | (2) | (1) | (0) | |||
starševski | t0{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -- |
rektificirano | t1{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -- |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {q,r} |
dvojno rektificirano (ali rektificirani dual) |
t2{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {q,p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -- |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{q,r} |
trojno rektificirano (ali dual) |
t3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() -- |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t2{q,r} |
prisekano | t0,1{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {2p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {q,r} |
dvojna prisekanost | t1,2{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{q,r} |
trojna prisekanost (ali prisekani dual) |
t2,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {q,p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {2r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{q,r} |
kantelirano | t0,2{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {}x{r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{q,r} |
dvojno kantelirano (ali kantelirani dual) |
t1,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p}x{} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{q,r} |
runcinirano (ali razširjeno) |
t0,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p}x{} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {}x{r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t2{q,r} |
kaniprisekano | t0,1,2{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {2p} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {}x{r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{q,r} |
dvojno kantiprisekano (ali kantiprisekani dual) |
t1,2,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p}x{} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {2r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{q,r} |
runciprisekano | t0,1,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {2p}x{} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {}x{r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,2{q,r} |
runcikantelirano (ali runciprisekani dual) |
t0,2,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {p}x{} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {}x{2r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t1,2{q,r} |
runciprisekano (ali omniprisekano) |
t0,1,2,3{p,q,r} | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{p,q} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {2p}x{} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() {}x{2r} |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() t0,1,2{q,r} |
V peti in višjih razsežnostih so znani trije pravilni politopi. To so hiperkocka, simpleks in ortopleks (kokocka), ki so posplošitve trirazsežnih teles (kocke, tetraedra in oktaedra). V treh razsežnostih ni pravilnih zvezdnih politopov. Večino večrazsežnih politopov se dobi s spremembami pravilnih pravilnih politopov ali s pomočjo kartezičnega produkta politopov z nižjimi razsežnostmi.