Konvergens är inom matematik en egenskap hos vissa följder, det vill säga sekvenser av objekt ${\displaystyle x_{i))$. Dessa är konvergenta om de närmar sig ett fixt objekt ${\displaystyle x}$.

Med att en summa är konvergent menas att följden av dess partialsummor är konvergent.

Formellt är en följd ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} ))$ i ett metriskt rum X konvergent om det finns ett element x i rummet X sådant att

För varje ${\displaystyle \epsilon >0}$ så finns ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ så att om ${\displaystyle i>N}$ så gäller

${\displaystyle d(x_{i},x)<\epsilon }$.

I ett allmänt topologiskt rum X sägs följden ${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in \mathbb {N} ))$ konvergera mot x, om det för varje omgivning U till x gäller att ${\displaystyle X\setminus U}$ endast innehåller ändligt många element från följden ovan.

Motsatsen är att följden är divergent.

I ett fullständigt metriskt rum är alla Cauchy-följder konvergenta. Stolz–Cesàros sats kan användas för att avgöra om en serie är konvergent.

1. I R är talföljden 1, 1/2, 1/4, 1/8, ... konvergent, och den konvergerar mot 0. Talföljden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/4, ... konvergerar även den, i detta fallet mot 2.
2. I rummet av alla reella tal större än (eller lika med) 0, konvergerar följden 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... mot 0. Däremot är följden 1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ..., den harmoniska serien, divergent och växer mot oändligheten.

Man kan också betrakta konvergens av en följd av funktioner ${\displaystyle f_{n))$ definierade på något intervall, ${\displaystyle I}$, av de reella talen eller allmänt en godtycklig mängd. Man säger att ${\displaystyle f_{n))$ konvergerar punktvis till ${\displaystyle f}$ om ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$ för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle I}$.

v • r Serier och följder Heltalsföljder Grundläggande Aritmetisk följd · Geometrisk följd · Harmonisk följd · Kvadrattal · Kubiktal · Fakultet · Tvåpotens · Trepotens · Tiopotens Avancerade Fullständig följd · Fibonaccital · Figurtal · Heptagontal · Hexagontal · Lucastal · Pelltal · Pentagontal · Polygontal · Triangeltal Följders egenskaper Cauchyföljd · Monoton följd · Periodisk följd Seriers egenskaper Konvergenta serier · Divergenta serier · Betingad konvergens · Absolutkonvergens · Likformig konvergens · Alternerande serie · Teleskoperande serie Rättframma serier Konvergerande 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ · 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ · 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ · 1 + 1/2s+ 1/3s + ... (Riemanns zetafunktion) Divergerande 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ · 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ · 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ · 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (Grandis serie) · Oändlig aritmetisk följd · 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ · 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯ · 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (Harmoniska serien) · 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ · 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (inversen av primtalen) Typer av serier Taylorserie · Potensserie · Formell potensserie · Laurentserie · Puiseuxserie · Dirichletserie · Trigonometrisk serie · Fourierserie · Genererande serie Hypergeometriska serier Generaliserad hypergeometrisk funktion · Hypergeometrisk funktion av matrisargument · Hypergeometrisk serie · Lauricella-hypergeometrisk serie · Modulär hypergeometrisk serie · Riemanns differentialekvation · Elliptisk hypergeometrisk serie Kategori