Rationella tal är inom matematiken tal som kan skrivas som en kvot (ett bråk) av två heltal:[1]
![{\displaystyle {\frac {T}{N))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/765037925f1124c4a7dc68b5714570390eccd404)
där heltalet T är bråkets täljare och heltalet N bråkets nämnare.
Mängden av rationella tal betecknas vanligtvis med Q eller ℚ (från engelskans quotient).
Ett alternativt sätt att uppfatta denna mängd är som mängden av alla lösningar (x)
till ekvationer ax - b = 0, där a och b är heltal och a är nollskilt.[2][3]
Räkneregler
Om elementen i mängden ℚ ses som lösningar till ekvationen ax - b = 0, går det att härleda räkneregler för bråktal.
![{\displaystyle {b \over 1}=b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60311346f2ec93c0e838b78c77e75933f554838b)
- Bråket b/1 löser ekvationen 1x - b = 0, det vill säga x = b. Eftersom ekvationen endast har en lösning, måste talen b/1 och b vara lika, det vill säga b/1 = b.
![{\displaystyle {n\cdot b \over n\cdot a}={b \over a},\quad n\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19262925ce04a76a1a11b828f2d0858e4b921727)
- Låt n vara ett nollskilt heltal. Bråket (nb)/(na) är en lösning till ekvationen (na)x - (nb) = 0. Genom att bryta ut den gemensamma faktorn n, kan ekvationen omformas till n(ax - b) = 0. Den enda möjligheten för denna ekvation att vara sann är om ax - b = 0, eftersom heltalet n är nollskilt. Men detta innebär att talet x – som ju var bråket (nb)/(na) – är lika med bråket b/a:
![{\displaystyle {\frac {n\cdot b}{n\cdot a))={\frac {b}{a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceee2d115c4de0be81eec68641b94148456499f0)
![{\displaystyle {b \over a}+{d \over c}={bc+ad \over ac},\quad a\neq 0,\,c\neq 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c72bfdada0c9460319d5837fa99c6cf5bc04f2c)
- Bråket b/a är en lösning till ekvationen ax - b = 0, och bråket d/c är en lösning till ekvationen cy - d = 0. Det skall visas att talet x + y är en lösning till ekvationen (ac)z - (bc + ad) = 0, eftersom denna ekvation har en lösning som är bråket (bc + ad)/ac.
- För att göra detta multipliceras x-ekvationen med heltalet c och y-ekvationen med heltalet a och de två erhållna ekvationerna adderas: (acx - bc) + (acy - ad) = 0. Denna nya ekvation omformas genom utbrytning av den gemensamma faktorn ac, vilket ger den sökta ekvationen ac(x + y) - (bc + ad) = 0.