En matemàtiques, un nombre doble de Mersenne és un nombre primer de Mersenne de la forma
on p és un nombre primer de Mersenne.
La seqüència de nombres dobles de Mersenne comença[1]
Un nombre doble de Mersenne que sigui primer és anomenat primer doble de Mersenne. Com que un nombre de Mersenne Mp és primer si i només si p és primer, (veure primer de Mersenne per una demostració), un nombre doble de Mersenne és primer si i només si Mp és un primer de Mersenne. El primer valor de p pel qual Mp és primer són p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127. D'aquests, és conegut per ser primer per p = 2, 3, 5, 7. Per p = 13, 17, 19, i 31, s'han trobat explícits factors demostrant que els nombres dobles de Mersenne corresponents no són primers. Així, el més petit candidat pel proper primer doble de Mersenne és , o 22305843009213693951 − 1. Essent aproximadament 1.695×10694127911065419641, aquest nombre és massa gran per ser conegut test de primalitat. No hi ha cap factor primer sota de 4×1033.[2] No hi ha probablement cap altre primer doble de Mersenne que els quatre coneguts.[1][3]
Escrit com a en comptes de . Un cas especial de nombres dobles de Mersenne, anomenem la seqüència recursiva definida
és anomenat com nombres Catalan–Mersenne.[4] Es diu[1] que Catalan portà aquesta seqüència després del descobriment de la primalitat de M(127)=M(M(M(M(2)))) per Lucas el 1876.[5] Catalan va conjecturar que ells, fins a un cert límit, són tots primers.[Cal aclariment]
Tot i que els primers cinc termes (fins a ) són primers, no hi ha mètode conegut per decidir si algun d'aquests nombre són primers (en un temps raonable) simpplament perquè els nombres en qüestió són massa grans, a menys que la primalitat de M(M(127)) sigui desaprovat.
En la pel·lícula The Beast with a Billion Backs, el nombre doble de Mersenne és vist breument en "una simple prova de la conjectura de Goldbach". A la pel·lícula, aquest nombre és conegut com un "primer martià".