Lagrangeova funkce nebo také lagrangián/lagranžián, popř. také kinetický potenciál systému, je funkce, která v sobě zahrnuje popis dynamiky systému. Tato funkce je pojmenována po Lagrangeovi, který ji zavedl v rámci své formulace klasické mechaniky.
Definice
Pro konzervativní systém má lagrangián tvar
kde jsou zobecněné souřadnice, jsou zobecněné rychlosti, je celková kinetická energie, je potenciální energie a je počet stupňů volnosti.
Obecnější tvar Lagrangeovy funkce lze získat pomocí zobecněné potenciálové funkce , tzn. funkce, pomocí které lze zobecněné síly zapsat ve tvaru . Pak:
- [pozn. 1]
Takový lagrangián umožňuje popisovat např. viskózní látky nebo zahrnout působení Lorentzovy síly.
Vlastnosti
Z Hamiltonova principu lze odvodit, že pokud je systém popsán Lagrangeovou funkcí pak může být systém popsán také Lagrangeovou funkcí
- ,
kde je libovolná funkce polohy a času.
Hustota lagrangiánu
Zejména v kvantové teorii pole se používá hustota lagrangiánu, vyjadřující jeho prostorové rozložení. Vzájemná souvislost je dána vztahem