Algebraische Deformationstheorie
Deformation einer assoziativen Algebra
Sei ein kommutativer Ring und eine assoziative -Algebra, deren Multiplikation eine -bilineare Abbildung
ist. Weiter sei der Ring der formallen Potenzreihen in mit Koeffizienten in , es gilt .
Eine ein-parametrige formale Deformation ist eine -bilineare Abbildung
gegeben durch
für und -bilineare Koeffizienten
so dass die Multiplikation von ist. Die letzte Bedingung lässt sich auch als notieren.
Mit notieren wir nun die Algebra, dessen zugrunde liegender Vektorraum ist und dessen Multiplikation die formale Deformation ist und nennen eine Deformation von . Für eine Parametermenge nennen wir eine Familie von Deformationen von .[2]
Eine Deformation ist assoziativ, wenn
für alle gilt.
Erläuterungen
Die Multiplikation von ist eine bilineare Abbildung
die formale Deformation ist nun die Erweiterung der Abbildung auf
Beispiel
Als Beispiel für eine algebraische Deformation betrachte die Faktorringe
Die beschreiben eine Deformation der algebraischen Struktur, während in die Beziehung gilt, gilt in die Beziehung , die Multiplikation variiert mit .
Wir können über betrachten und definieren die Multiplikation
und aus folgt
Aus der letzten Gleichung folgt
Es gilt .[3]