Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Separable Räume sind nicht identisch mit
separierten Räumen.
Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie und verwandten Gebieten eine häufig benutzte Abzählbarkeitseigenschaft von topologischen Räumen. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der Funktionalanalysis. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen gibt.
Definition
Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.
Beispiele
Beispiele für separable Räume sind etwa:
- Die Räume
sind für
separabel, da
abzählbar ist und dicht in
liegt.[10]
- Es ist sogar jeder endlich-dimensionale normierte Raum über den reellen oder komplexen Zahlen separabel.
- Die Räume
, über einem separablen Maßraum
, sind für
separabel. Dies ist z. B. beim Lebesgue-Maß mit der borelschen σ-Algebra der Fall.
- Die Folgenräume
für
sind separabel.[10] So liegt
dicht in
.
- Der Raum
der (reellen oder komplexen) Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm ein separabler Banachraum.[11]
- Der Raum
der abbrechenden Folgen (
) ist mit der
-Norm für
separabel.
- Für offene Teilmengen
und natürliche Zahlen
sind die Räume
stets separabel.
- Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.[12]
- Die Niemytzki-Ebene (oder Moore-Ebene) ist ein separabler Raum, da die enthaltene abzählbare (!) Teilmenge der Punkte mit rationalen Koordinaten darin dicht liegt.[13][14]
Es lässt sich insbesondere bei (unendlichdimensionalen) normierten Räumen in der Regel leicht durch die explizite Angabe einer höchstens abzählbaren dichten Teilmenge zeigen, dass der Raum separabel ist. Für Folgenräume wie
über den reellen oder komplexen Zahlen bieten sich beispielsweise die rationalen Zahlen an. So liegt derselbe Raum über den rationalen Zahlen deshalb dicht in
, weil sich jede reelle Nullfolge in jedem Folgenglied durch rationale Zahlen annähern lässt (
dicht in
). Diese punktweise Konvergenz impliziert insbesondere Konvergenz in der Supremumsnorm und damit Konvergenz im Raum
. Im komplexen Fall müssen Real- und Imaginärteil separat angenähert werden.
Gegenbeispiele
Es gibt einige bekannte Beispiele für nicht-separable Räume: