No debe confundirse con
π , número irracional ≈ 3,141592..
Letra pi mayúscula, notación del productorio. El productorio o productoria , también conocido como multiplicatorio , multiplicatoria , producto o infrecuentemente pitatoria o pitatorio (por denotarse como una letra pi mayúscula), es una notación matemática que representa una multiplicación de una cantidad arbitraria (finita o infinita).
La notación se expresa con la letra griega pi mayúscula Π de la siguiente manera:
Para todos los valores m < n
∏
k
=
m
n
a
k
=
a
m
⋅
a
m
+
1
⋅
…
⋅
a
n
{\displaystyle \prod _{k=m}^{n}a_{k}=a_{m}\cdot a_{m+1}\cdot \quad \dots \quad \cdot a_{n))
Si m = n tenemos que:
m
=
n
,
∏
k
=
m
n
a
k
=
∏
k
=
m
m
a
k
=
a
m
{\displaystyle m=n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=\prod _{k=m}^{m}a_{k}=a_{m))
En el caso de que m sea mayor que n , m > n , se le asigna el valor del elemento neutro de la multiplicación, el uno:
m
>
n
,
∏
k
=
m
n
a
k
=
1
{\displaystyle m>n\;,\quad \prod _{k=m}^{n}a_{k}=1}
Se puede definir por inducción como sigue.
1. Se define
∏
k
=
1
1
a
k
=
a
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}a_{k}=a_{1))
2. Supuesta definida para un n ≥ 1 fijo, se define
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
a
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)a_{n+1))
Se puede usar el productorio para definir otras igualdades importantes. Así, tomando n =1 y aplicando la segunda igualdad se obtiene:
∏
k
=
1
2
a
k
=
(
∏
k
=
1
1
a
k
)
(
a
2
)
=
a
1
a
2
{\displaystyle \prod _{k=1}^{2}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)(a_{2})=a_{1}a_{2))
.Definida para n =2, se puede aplicar otra vez la segunda igualdad con n =2 para luego obtener
∏
k
=
1
3
a
k
=
(
∏
k
=
1
2
a
k
)
(
a
3
)
=
(
a
1
a
2
)
a
3
{\displaystyle \prod _{k=1}^{3}a_{k}=\left(\prod _{k=1}^{2}a_{k}\right)(a_{3})=(a_{1}a_{2})a_{3))
.Así, usando la propiedad asociativa de la multiplicación, el producto
(
a
1
a
2
)
a
3
{\displaystyle {\mathit {(a_{1}a_{2})a_{3))}\,\!}
es el mismo que
a
1
(
a
2
a
3
)
{\displaystyle {\mathit {a_{1}(a_{2}a_{3})))\,\!}
y, por lo tanto, podemos prescindir del uso de paréntesis sin peligro de confusión y usar simplemente
a
1
a
2
a
3
=
∏
k
=
1
3
a
k
{\displaystyle a_{1}\,a_{2}\,a_{3}=\prod _{k=1}^{3}a_{k))
.Se puede entonces, usar este razonamiento para cualquier
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
sin que haya peligro de confusión.
Otro ejemplo de productorio muy conocido es el que se utiliza para definir n ! (n factorial ) como sigue:
∏
k
=
1
n
k
=
n
!
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}k=n!}
Se define
0
!
=
1
!
=
1
{\displaystyle 0!=1!=1}
Se puede usar el método de inducción matemática para demostrar algunas propiedades. Para ello, nos basaremos en la definición formal por inducción descrita anteriormente.
Propiedad Multiplicativa [ editar ]
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{({a_{k)){b_{k)))}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)}
Demostración por Inducción
i) Tomemos n=1 y veamos si se cumple la igualdad
∏
k
=
1
1
(
a
k
b
k
)
=
a
1
b
1
=
(
∏
k
=
1
1
a
k
)
(
∏
k
=
1
1
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{({a_{k)){b_{k)))}=a_{1}b_{1}=\left(\prod _{k=1}^{1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{1}b_{k}\right)}
y la igualdad es cierta para n =1
ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n +1
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
[
∏
k
=
1
n
(
a
k
b
k
)
]
(
a
n
+
1
b
n
+
1
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k)){b_{k)))}=\left[\prod _{k=1}^{n}{({a_{k)){b_{k)))}\right](a_{n+1}b_{n+1})}
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
a
n
+
1
b
n
+
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k)){b_{k)))}=\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)a_{n+1}b_{n+1))
(Definición por inducción)
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
[
(
∏
k
=
1
n
a
k
)
(
a
n
+
1
)
]
[
(
∏
k
=
1
n
b
k
)
(
b
n
+
1
)
]
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k)){b_{k)))}=\left[\left(\prod _{k=1}^{n}a_{k}\right)(a_{n+1})\right]\left[\left(\prod _{k=1}^{n}b_{k}\right)(b_{n+1})\right]}
(Asociatividad en IR)
Luego,
∏
k
=
1
n
+
1
(
a
k
b
k
)
=
(
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
)
(
∏
k
=
1
n
+
1
b
k
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{({a_{k)){b_{k)))}=\left(\prod _{k=1}^{n+1}a_{k}\right)\left(\prod _{k=1}^{n+1}b_{k}\right)}
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
,
si cada
a
k
≠
0
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}={\frac {a_{n)){a_{0))},\quad {\text{si cada))\;a_{k}\neq 0}
Demostración por Inducción
i) Analicemos para n =1
∏
k
=
1
1
a
k
a
k
−
1
=
a
1
a
0
,
con:
a
0
≠
0
y la igualdad es cierta para:
n
=
1
{\displaystyle \prod _{k=1}^{1}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}={\frac {a_{1)){a_{0))},\quad {\text{con:))\;a_{0}\neq 0\;{\text{y la igualdad es cierta para:))\;n=1}
ii) Supongámosla cierta para n y analicémosla para n +1
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
(
∏
k
=
1
n
a
k
a
k
−
1
)
(
a
n
+
1
a
n
)
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}=\left(\prod _{k=1}^{n}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}\right)\left({\frac {a_{n+1)){a_{n))}\right)}
(Definición por inducción) Luego,
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
a
n
a
0
a
n
+
1
a
n
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}={\frac {a_{n)){a_{0))}\;{\frac {a_{n+1)){a_{n))))
que es lo que queríamos demostrar.
Nótese que nuestra exigencia era que para cada
k
{\displaystyle {\mathit {k))\,\!}
,
a
k
≠
0
{\displaystyle a_{k}\neq 0}
. En particular, para
k
=
n
{\displaystyle {\mathit {k=n))\,\!}
,
a
k
=
a
n
≠
0
{\displaystyle a_{k}=a_{n}\neq 0}
. Luego la simplificación es posible y
∏
k
=
1
n
+
1
a
k
a
k
−
1
=
a
n
+
1
a
0
{\displaystyle \prod _{k=1}^{n+1}{\frac {a_{k)){a_{k-1))}={\frac {a_{n+1)){a_{0))))
.