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L'image d'une courbe est aussi appelée support de la courbe. Parfois, on utilise aussi l'expression courbe pour indiquer le support d'une courbe. Une courbe sur un espace euclidien de dimension supérieure à 2 est dite plane si son support est contenu dans un plan lui-même contenu dans l'espace euclidien dans lequel elle est définie.
Une courbe plane est dite simple si elle ne se recoupe pas, autrement dit, si
Une manière de représenter une courbe plane est l'équation :
telle qu'à chaque point x corresponde un point y, et de façon que chaque point du plan xy : (x , y) représente le support de la courbe. Une courbe de ce type est également nommée graphique en référence au graphique d'une fonction réelle ; en effet, la représentation peut aussi s'écrire :
c'est-à-dire comme fonction d'une variable indépendante. Cette représentation a de nombreuses limites géométriques, du fait que très souvent, une courbe a une description très complexe sous cette forme, qui n'est donc pas adaptée à l'étude des propriétés géométriques.
Représentation par une forme cartésienne implicite
Une courbe peut également être représentée sous la forme :
c'est-à-dire comme fonction de deux variables indépendantes. Cette représentation est, selon certains points de vue, meilleure que la représentation explicite ; cependant, on peut rencontrer des problèmes quand il faut expliciter l'une des deux variables en fonction de l'autre : souvent, c'est très compliqué, quand ce n'est pas impossible.
La meilleure représentation est sans aucun doute la représentation paramétrée, du type :
ou bien
où s'appelle le paramètre.
La condition de continuité ne suffit pas pour représenter et étudier les courbes vues comme objets filiformes à une dimension avec les caractéristiques de régularité voulues. La condition supplémentaire est que la courbe plane soit différentiable sur .
Une courbe plane paramétrée est dite différentiable en tout point si les fonctions et ont des dérivées continues en tout point.
On dit qu'une courbe plane paramétrée est régulière en un point (ou que est un point régulier pour cette courbe) si ; elle est dite régulière sur I si en tout point de .
Un point tel que est appelé point singulier pour la courbe.
La régularité de la courbe permet de définir la droite tangente à la courbe. Soient une courbe différentiable et un point régulier. On peut définir la tangente à la courbe en ce point comme étant la droite passant par et parallèle au vecteur.
D'après la définition même de la dérivée, on obtient :
ce qui, d'un point de vue géométrique, représente la pente de la droite tangente à la courbe, autrement dit la tangente (au sens trigonométrique du terme) de l'angle que cette tangente forme avec l'axe horizontal (l'axe des 'x'). De cette relation, on peut extraire les cosinus directeurs de la tangente à la courbe :
Une forme de paramétrage qui revêt une importance notable dans l'étude des mathématiques, de la géométrie et dans de nombreux domaines d'application des mathématiques, est celle des coordonnées polaires planes. Étant donné une courbe paramétrée en coordonnées polaires par la forme cartésienne , avec c ≤ θ ≤ d, et par la forme paramétrée :
On définit l'abscisse curviligne ou paramètre longueur d'arc comme étant le reparamétrage particulier obtenu en fixant la borne inférieure d'intégration a, de façon que l'intégrale ne dépende que de la borne supérieure t, vue comme variable. Cette fonction est, géométriquement, la longueur de l'arc de courbe à partir d'un point fixe a, affectée éventuellement d'un signe. Il est toujours possible de paramétrer de nouveau la courbe selon l'abscisse curviligne. Dans ce cas, pour déterminer la tangente en un point, on sait qu'elle est parallèle à un vecteur tangent unitaire. On démontre que l'on peut toujours paramétrer de nouveau une courbe au moyen de l'abscisse curviligne de la façon suivante :
étant donné que , on peut inverser , et son inverse est . Alors on obtient le reparamétrage par l'abscisse curviligne donné par : .
On démontre ensuite que le vecteur tangent est unitaire :
Soit une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne et son vecteur tangent unitaire. Considérons la fonction . Alors la fonction est dite courbure de la courbe.
Si la courbe est représentée explicitement, sa courbure est :
.
En revanche, pour une courbe représentée par une équation implicite, la courbure est évaluée par :
Une courbe (suffisamment régulière) de l'espace possède, en tous ses points, un système de référence, dit trièdre de Frenet, donné par un triplet de vecteurs tangent, normal et binormal. Une telle courbe est plane si et seulement si le vecteur binormal est toujours nul.
Soit une courbe paramétrée selon l'abscisse curviligne. Le vecteur unitaire tangent est déterminé par :
Le vecteur unitaire normal est déterminé par :
où i est l'unité imaginaire telle que . Grâce à la définition de la courbure, on peut donner une autre forme au vecteur unitaire normal :
On démontre que le vecteur est orthogonal à T et donc parallèle à N.
Finalement, les formules de Frenet et la courbure pour une courbe plane, quel que soit son paramétrage , sont :