Le matrici gamma di Dirac sono un insieme di matrici che formano una rappresentazione dell'algebra di Clifford. Sono utilizzate nell'equazione di Dirac e sono state formulate per conciliare la meccanica quantistica con la relatività ristretta.

Definizione

Le matrici sono determinate dalla regola di anticommutazione che definisce l'algebra di Clifford:

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2g^{\mu \nu }I}$

dove ${\displaystyle g^{\mu \nu ))$ è la metrica dello spaziotempo. Questa condizione non fissa le matrici gamma in maniera univoca, infatti hanno varie rappresentazioni.

Usando la metrica di Minkowski con segnatura ${\displaystyle (+,-,-,-)}$ deve accadere che:

${\displaystyle \gamma ^{0}=\left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger },\gamma ^{i}=-\left(\gamma ^{i}\right)^{\dagger ))$

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{0}=I,\gamma ^{i}\gamma ^{i}=-I\ }$

dove ${\displaystyle I}$ è la matrice identità, ${\displaystyle ^{\dagger ))$ è il trasposto coniugato e ${\displaystyle i}$ un indice che va da 1 a 3. Da ciò, in quattro dimensioni:

${\displaystyle \gamma ^{\rho }\gamma _{\rho }=4I\ }$

La rappresentazione di Dirac

Una delle rappresentazioni più diffuse per le matrici di Dirac è la seguente, detta appunto rappresentazione di Dirac, costruita a partire dalla matrice identità e dalle tre matrici di Pauli ${\displaystyle \sigma ^{i))$:

${\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&0\end{pmatrix))}$

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix))}$

In questa rappresentazione le quattro matrici di Dirac controvarianti sono:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix)),\gamma ^{1}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix))}$

${\displaystyle \gamma ^{2}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix)),\gamma ^{3}\!=\!{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix)).}$

Da queste quattro matrici è possibile costruire sedici prodotti differenti, linearmente indipendenti uno dall'altro, e che potranno essere utilizzati per costruire le osservabili fisiche dell'equazione di Dirac:

${\displaystyle \Gamma ^{S}=I;\Gamma ^{V}=\gamma ^{\mu };\Gamma _{\mu \nu }^{T}=\sigma _{\mu \nu };\Gamma ^{P}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{5};\Gamma ^{A}=\gamma ^{5}\Gamma ^{V))$

dove

${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }={\frac {i}{2))\left[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }\right]}$

Queste ${\displaystyle \Gamma }$, oltre a essere una base per lo spazio delle matrici ${\displaystyle 4\times 4}$, rispettano alcune regole:

1. ${\displaystyle \left(\Gamma ^{n}\right)^{2}=\pm 1}$
2. ${\displaystyle \Gamma ^{n}\neq \Gamma ^{S},\exists \Gamma ^{m}:\Gamma ^{n}\Gamma ^{m}=-\Gamma ^{m}\Gamma ^{n))$
3. ${\displaystyle \Gamma ^{n}\neq \Gamma ^{S},\operatorname {tr} \Gamma ^{n}=0}$
4. ${\displaystyle \Gamma ^{a},\Gamma ^{b},\exists \Gamma ^{n}\neq \Gamma ^{S}:\Gamma ^{a}\Gamma ^{b}=\Gamma ^{n))$
5. ${\displaystyle {\mbox{se ))\sum _{i=1}^{16}a_{i}\Gamma ^{i}=0,{\mbox{ allora ))a_{i}=0\forall i}$.

Infine, combinando le ${\displaystyle \gamma }$ con gli spinori, è possibile definire una quadricorrente:

${\displaystyle j^{\mu }(x)={\bar {\psi ))(x)\gamma ^{\mu }\psi (x)}$

dove

${\displaystyle {\bar {\psi ))(x)=\psi ^{+}(x)\gamma ^{0))$.

Bisogna notare che gli indici che distinguono queste matrici non sono dei veri e propri indici tensoriali, perché ${\displaystyle \gamma ^{\mu ))$ non è un quadrivettore che trasforma sotto una generica trasformazione di Lorentz ${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu ))$ secondo:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\rightarrow \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\prime }={\Lambda ^{\mu ))_{\nu }\gamma ^{\nu ))$

bensì rimane invariato, per definizione:

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\prime }=\gamma ^{\mu ))$.

Spesso con la "covarianza" delle matrici gamma si intende la seguente relazione:

${\displaystyle S^{-1}\gamma ^{\mu }S={\Lambda ^{\mu ))_{\nu }\gamma ^{\nu ))$,

dove ${\displaystyle S=S(\Lambda )}$ è la rappresentazione della trasformazione sugli spinori che intervengono nell'equazione di Dirac, ma questa è una proprietà soddisfatta in virtù della forma esplicita delle ${\displaystyle S}$. Una conseguenza di questo fatto è che la grandezza ${\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu ))$ non è invariante, ma si trasforma come:

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)^{\prime }=\gamma ^{\mu }\left(\Lambda ^{-1}\right)_{\mu }^{\nu }p_{\nu }=S\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)S^{-1))$

e con lei lo stesso operatore di Dirac ${\displaystyle (i\partial \!\!\!/\ -m)}$ e il propagatore del campo fermionico. Si noti che l'invarianza della densità di lagrangiana e delle sezioni d'urto è conservata perché in queste grandezze la parte che trasforma con le ${\displaystyle S}$ è racchiusa tra una ${\displaystyle {\bar {\psi ))}$ e una ${\displaystyle \psi }$, in modo da mantenere il tutto invariante. Si noti anche che:

${\displaystyle p\!\!\!\,/\equiv \gamma ^{\mu }p_{\mu }=\gamma _{\mu }p^{\mu ))$

${\displaystyle \left(\Lambda ^{-1}\right)_{\mu }^{\nu }\gamma ^{\mu }p_{\nu }=S\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)S^{-1}=\left(p\!\!\!\,/\right)^{\prime }=\left(\gamma ^{\mu }p_{\mu }\right)^{\prime }\neq \left(\gamma _{\mu }p^{\mu }\right)^{\prime }=\Lambda _{\nu }^{\mu }\gamma _{\mu }p^{\nu ))$.

La quinta matrice gamma

È una matrice definita (nel formalismo quadri-dimensionale di Dirac) come segue:

${\displaystyle \gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix))}$

Anche se la matrice ${\displaystyle \gamma ^{5))$ non fa parte delle quattro matrici gamma, si denota in questo modo perché retaggio di una vecchia notazione: essendo ${\displaystyle \gamma ^{0))$ la quarta matrice oltre le tre spaziali, l'apice 5 denota che sarebbe una quinta matrice con le stesse proprietà delle altre quattro.

Vale anche la relazione che segue (facilmente verificabile):

${\displaystyle \gamma ^{5}={\frac {i}{4!))\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta ))$

Viene introdotta in meccanica quantistica relativistica perché utile per lo sviluppo di diverse argomentazioni; una su tutte è la proiezione del campo di Dirac nelle componenti "left-handed" (levogiro) e "right-handed" (destrogiro) (vedi anche chiralità):

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5)){2))\psi ,\qquad \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5)){2))\psi }$.

Seguono alcune delle proprietà di cui gode:

• È hermitiana:

${\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.\,}$

• Ha autovalori ±1:

${\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}.\,}$

• Anticommuta con le altre quattro ${\displaystyle \gamma ^{\mu ))$:

${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.\,}$