In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri e detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di fattori uguali ad :
in questo contesto può essere un numero intero, razionale o reale mentre è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.
Le potenze scritte nella forma si leggono " elevato alla " o più semplicemente " alla ". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.
Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).
Esempi:
si legge "tre alla seconda" oppure "tre al quadrato"
si legge "due alla terza" oppure "due al cubo"
si legge "tre alla quarta" oppure "tre elevato alla quarta"
si legge "un mezzo alla terza" oppure "un mezzo al cubo"
L'operazione si estende a ponendo per ogni
(nel caso in cui e l'operazione non è definita: non esiste )
Grafico di funzioni xa per esponenti maggiori di 1 (sotto la bisettrice degli assi), e minori di 1 (sopra la bisettrice)
Dato un numero reale non negativo e un numero intero positivo si chiama radice-esima di quel numero reale non negativo tale che , tale numero si indica con .
Da questa definizione si ha subito che
per ogni numero reale non negativo . Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre
In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti
come avviene per la radice -esima.
Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale, con e interi primi tra loro e , se si pone:
In questo caso:
se è pari, la potenza è definita per reale non negativo;
se è dispari:
se è positivo, la potenza è definita per qualsiasi ;
se è non positivo, la potenza è definita per qualsiasi non nullo.
Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi e primi tra loro si cade in assurdi quali:
Il passaggio errato è il terzo, in quanto non è definito in .
È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come o eπ.
Definiamo inizialmente con la base e l'esponente , entrambi numeri reali.
Possiamo scrivere nella sua rappresentazione in base con la scrittura: