In matematica, la potenza è un'operazione che associa a una coppia di numeri e detti rispettivamente base ed esponente, il numero dato dal prodotto di fattori uguali ad :

in questo contesto può essere un numero intero, razionale o reale mentre è un numero intero positivo. Con opportune ipotesi su è possibile considerare anche altri valori numerici per gli esponenti, ad esempio esponenti interi (anche non positivi), razionali o reali.

Le potenze scritte nella forma si leggono " elevato alla " o più semplicemente " alla ". L'esponente è usualmente rappresentato come apice immediatamente a destra della base.

Peculiarità ed esempi

Alcuni esponenti hanno un loro nome. L'esponente due è spesso indicato come "al quadrato" (un numero alla seconda rappresenta l'area di un quadrato che abbia per lato quel valore) e l'esponente come "al cubo" (un numero alla terza rappresenta il volume di un cubo che abbia per spigolo quel valore).

Esempi:

L'operazione si estende a ponendo per ogni

(nel caso in cui e l'operazione non è definita: non esiste )

e a negativi ponendo

Ad esempio,

Proprietà

Le seguenti proprietà sono di immediata verifica nel caso in cui gli esponenti siano numeri interi positivi:

NB: infatti, ad esempio, è formato da un 1 seguito da 1000 zeri, mentre è formato da un 1 seguito da zeri.

Notiamo che la definizione risulta ora più comprensibile poiché è consistente con le proprietà appena viste, infatti:

Si noti che è un prodotto vuoto e pertanto è uguale a

E lo stesso vale per la definizione di , infatti:

Radici ed esponenti frazionari

Grafico di funzioni xa per esponenti maggiori di 1 (sotto la bisettrice degli assi), e minori di 1 (sopra la bisettrice)

Dato un numero reale non negativo e un numero intero positivo si chiama radice -esima di quel numero reale non negativo tale che , tale numero si indica con .

Da questa definizione si ha subito che

per ogni numero reale non negativo . Quindi è ragionevole (in virtù delle proprietà delle potenze) porre

In questo modo le proprietà delle potenze sono ancora rispettate, infatti

come avviene per la radice -esima.

Più in generale la definizione di potenza può essere estesa ulteriormente, con alcune restrizioni, consentendo all'esponente di essere un numero razionale , con e interi primi tra loro e , se si pone:

In questo caso:

Trascurando tali restrizioni e l'ipotesi e primi tra loro si cade in assurdi quali:

Il passaggio errato è il terzo, in quanto non è definito in .

Potenze ad esponente reale

È possibile estendere la definizione dell'operazione di elevamento a potenza anche ai casi in cui base ed esponente sono dei generici numeri reali (con la base però sempre positiva) facendo in modo che si conservino le regole di operazione tra potenze e che la funzione potenza risultante sia una funzione continua, e questa estensione è unica. Si può in tal modo dare senso a espressioni come o eπ.

Definiamo inizialmente con la base e l'esponente , entrambi numeri reali.

Possiamo scrivere nella sua rappresentazione in base con la scrittura:

La successione dei numeri

è una successione di numeri razionali crescente che tende a .

La potenza ha esponente razionale, quindi è stata definita.

La successione di numeri reali

è una successione anch'essa crescente (poiché ), risulta quindi naturale definire il valore di come l'estremo superiore di tale successione:

Nel caso in cui la base fosse un numero compreso tra e si può definire:

poiché in questo caso è maggiore di e quindi il secondo membro è definito.

Difatti, essendo , si ha la seguente successione di numeri reali (considerando come prima):

che è una successione decrescente e quindi si può porre, in questo caso, .

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