In fisica, per propagazione degli errori si intende l'effetto dell'errore (o variabilità) di un vettore di variabili aleatorie sull'errore associato ad una funzione di esso. Tali variabili, quando oggetto di rilevazione sperimentale, sono inoltre soggette a variabilità osservazionale dovuta a limitazioni nella misura (dovuta ad esempio alla precisione degli strumenti di misura), che si propaga alla funzione delle osservazioni.
Ad una variabile è possibile associare un errore aleatorio detto errore assoluto, che esprime il grado di incertezza nella misura del valore di , anche se più spesso tale errore è espresso tramite la deviazione standard o, in caso di analisi chimiche, l'incertezza composta . Una misura frequentemente usata è l'errore relativo, esprimibile anche in via percentuale, o più in generale il coefficiente di variazione, espresso mediante il rapporto , dove con s'intende il valore atteso (media, o ancora valore vero) di .
Se si conosce o si può ipotizzare la distribuzione di probabilità della variabile oggetto di misura, è possibile inoltre probabilizzare intervalli di valori in cui possa essere inclusa la variabile. Spesso si assume normalità in distribuzione per tale quantità, con media nulla in assenza di errori sistematici (bias) e con deviazione standard pari proprio all'errore assoluto. Sotto tale ipotesi, l'intervallo di ampiezza ha associata una probabilità approssimativamente 0.68, mentre l'intervallo 2σ una probabilità approssimativamente pari a 0.96.
Se le variabili sono invece correlate, si inserisce la covarianza tra coppie di variabili come una doppia somma tra ogni coppia :
Dopo aver calcolato , si può quindi affermare che il valore della funzione con la sua incertezza è pari a:
Non è certo un risultato sorprendente: le incertezze sulle influiscono sulla variabile a seconda di come le variabili siano tra loro correlate. Sviluppando mediante un polinomio di Taylor la funzione fino al primo ordine (nell'ipotesi che tutti i termini di ordine superiore al primo siano trascurabili), le derivate del primo ordine descrivono bene[1] l'andamento stesso della funzione.
Si forniscono dunque alcune formule per il calcolo dell'incertezza di funzioni particolari assumendo sempre la presenza di covarianza tra le variabili come , dove e sono due generiche variabili, espressa negli esempi come , o .
Un metodo semplice utilizzato spesso nella Fisica prevede l'utilizzo del polinomio di Taylor arrestato al primo ordine, ovvero la sostituzione della funzione ƒ con la sua retta tangente per stimare l'errore. Si ha:
dove o(x) è una funzione tendente a zero. Se si sostituisce x con a + Δa, si ottiene:
Si può calcolare la propagazione dell'errore per la funzione tangente inversa come esempio dell'uso delle derivate parziali. Si definisce quindi la funzione:
Esprimendo le quantità misurate con le rispettive incertezze (I±ΔI e V±ΔV), l'incertezza ΔR del risultato è pari a:
Quindi, in questo semplice caso, l'errore relativo ΔR/R è pari alla radice quadrata della somma dei quadrati degli errori relativi delle due quantità misurate.