in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per lati le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa.
Se si vuole considerare invece il rapporto tra la lunghezza dei segmenti, il teorema afferma che:
Guardando la figura, sia congruente e perpendicolare a e congruente a .
Si vuole dimostrare che il quadrato è equivalente al rettangolo .
Si consideri il triangolo rettangolo e ad esso si applichi il teorema di Pitagora. Si ottiene che il quadrato è equivalente alla somma dei quadrati e .
Si consideri ora il triangolo rettangolo , e ad esso si applichi il primo teorema di Euclide. Si ottiene che il quadrato è equivalente al rettangolo , ma tale rettangolo può essere considerato come la somma del quadrato e del rettangolo .
Allora la somma di e è equivalente alla somma di e , quindi, per differenza, è equivalente a .
In formule, facendo riferimento al triangolo rettangolo in figura il teorema afferma che . In modo equivalente: ·.
Si considerino i triangoli e . Dato che l'angolo è complementare di , si può concludere che gli angoli e sono congruenti, e quindi i triangoli e sono simili per il primo criterio di similitudine. Si può quindi scrivere la proporzione .
È facile mostrare che i due enunciati sono fra loro equivalenti, una volta introdotto il concetto di misura. Infatti, con riferimento alla figura, il primo enunciato si può esprimere anche dicendo che l'area della superficie del quadrato è equivalente all'area della superficie del rettangolo . In formule: ··. Avendo costruito la figura in modo che e che , si può scrivere che ··, il che significa che , che infine dimostra l'equivalenza fra i due.