Gegeneraliseerde formulering van de hoge orden van dispersie - Lah-Laguerre optica
De beschrijving van de chromatische dispersie op perturbatieve wijze via taylor-coëfficiënten is handig voor optimalisatieproblemen waarbij de dispersie van verschillende systemen moet worden gebalanceerd. In chirp-pulslaserversterkers bijvoorbeeld worden de pulsen eerst in de tijd uitgerekt door een stretcher om optische schade te voorkomen. Vervolgens accumuleren de pulsen in het versterkingsproces onvermijdelijk lineaire en niet-lineaire fase bij het passeren van materialen. En ten slotte worden de pulsen gecomprimeerd in verschillende soorten compressoren. Om eventuele resterende hogere orden in de geaccumuleerde fase op te heffen, worden gewoonlijk afzonderlijke orden gemeten en gebalanceerd. Voor uniforme systemen is een dergelijke perturbatieve beschrijving echter vaak niet nodig (d.w.z. voortplanting in golfgeleiders).
De dispersieorden zijn gegeneraliseerd op een berekeningsvriendelijke manier, in de vorm van transformaties van het Lah-Laguerre type.[1][2]
De dispersieorden worden gedefinieerd door de taylor-ontwikkeling van de fase of de golfvector.
![{\displaystyle \varphi (\omega )=\sum _{p}{\frac {1}{p!)){\frac {\partial ^{p}\varphi }{\partial \omega ^{p))}(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2815217730c21abd8e9582f43405142f4f1dc56)
![{\displaystyle k(\omega )=\sum _{p}{\frac {1}{p!)){\frac {\partial ^{p}k}{\partial \omega ^{p))}(\omega _{0})(\omega -\omega _{0})^{p))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f3ac2eea3731700637c56e1bd9c9110aee1207)
De dispersierelaties voor de golfvector
en de fase
, met
de optische weglengte, kunnen worden uitgedrukt als:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{p)){\partial \omega ^{p))}k(\omega )={\frac {1}{c))\left(p{\frac {\partial ^{p-1)){\partial \omega ^{p-1))}n(\omega )+\omega {\frac {\partial ^{p)){\partial \omega ^{p))}n(\omega )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dffa94ed9c78a96a8fda3c6fad4bc98ca4323266)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{p)){\partial \omega ^{p))}\varphi (\omega )={\frac {1}{c))\left(p{\frac {\partial ^{p-1)){\partial \omega ^{p-1))}OP(\omega )+\omega {\frac {\partial ^{p)){\partial \omega ^{p))}OP(\omega )\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372d969e6d9127fca18dada643b521f37ac7dca4)
De afgeleiden van elke differentieerbare functie
in de golflengte- of frequentieruimte wordt door een Lah-transformatie gespecificeerd als:
De matrixelementen van de transformatie zijn de Lah-coëfficiënten:
Geschreven voor de GDD stelt bovenstaande uitdrukking dat een constante met golflengte GGD, nul hogere orden heeft. De hogere ordes geëvalueerd vanuit de GDD zijn:
Door vergelijking (2) voor de brekingsindex
of optische weg
in vergelijking (1) te substitueren, ontstaan gesloten uitdrukkingen voor de dispersieorden. In het algemeen is de
orde dispersie POD een Laguerre-type transformatie van negatieve orde twee:
Door vergelijking (2) voor de brekingsindex
of optische weg
in vergelijking (1) te substitueren, ontstaan gesloten uitdrukkingen voor de dispersieorden. In het algemeen is de
orde dispersie POD een Laguerre-type transformatie van negatieve orde twee:
De eerste tien dispersieorders, expliciet geschreven voor de golfvector, zijn:
De groepsbrekingsindex
wordt gedefinieerd als:
.
Expliciet, geschreven voor de fase
, kunnen de eerste tien dispersieorden worden uitgedrukt als een functie van de golflengte met behulp van de Lah-transformaties (vergelijking (2)) als: