Wykres funkcji Mertensa dla argumentów od 1 do 10 000 Funkcja Mertensa – w teorii liczb funkcja zdefiniowana jako:
M
(
n
)
=
∑
1
⩽
k
⩽
n
μ
(
k
)
,
{\displaystyle M(n)=\sum _{1\leqslant k\leqslant n}\mu (k),}
gdzie
μ
(
k
)
{\displaystyle \mu (k)}
jest funkcją Möbiusa [1] [2] [3] .
Dla każdej liczby naturalnej
k
{\displaystyle k}
zachodzi
μ
(
k
)
⩽
1
,
{\displaystyle \mu (k)\leqslant 1,}
zatem
M
(
n
)
⩽
n
{\displaystyle M(n)\leqslant n}
[2] .
Franciszek Mertens wysunął przypuszczenie, że dla każdego
n
{\displaystyle n}
|
M
(
n
)
|
<
n
{\displaystyle \left|M(n)\right|<{\sqrt {n))}
[2] [3] [4] .Fakt ten implikowałaby hipotezę Riemanna [4] . Jest to powiązane z faktem, iż jeśli podzielimy funkcję Mertensa z danej liczby przez pierwiastek kwadratowy, uzyskamy ciąg zbliżony do sekwencji nietrywialnych zer funkcji dzeta Riemanna [2] [3] . Okazuje się jednak, że przypuszczenie to jest fałszywe; do dziś nie jest znany kontrprzykład , ale wiadomo, że znajduje się między
10
16
{\displaystyle 10^{16))
[3] a
e
3.21
×
10
64
{\displaystyle e^{3.21\times 10^{64))}
[5] . Równoważne z hipotezą Riemanna jest zachodzenie dla każdego
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
poniższego wzoru:
M
(
n
)
=
O
(
n
1
2
+
ϵ
)
{\displaystyle M(n)=O\left(n^((\frac {1}{2))+\epsilon }\right)}
[2] .Gdyby funkcja Möbiusa została zastąpiona losowym ciągiem
+
1
{\displaystyle +1}
i
−
1
,
{\displaystyle -1,}
to powyższa własność wynikałaby z prawa iterowanego logarytmu .
Ponadto, jeśli powyższy wzór jest prawdziwy, wynik funkcji pi można by przybliżyć wzorem
∫
0
x
d
u
ln
(
u
)
+
O
(
x
θ
ln
(
x
)
)
,
{\displaystyle \int \limits _{0}^{x}{\frac {du}{\ln(u)))+O(x^{\theta }\ln(x)),}
gdzie theta oznacza półpłaszczyznę
R
(
s
)
>
θ
,
{\displaystyle {\mathfrak {R))(s)>\theta ,}
gdzie
s
{\displaystyle s}
to argument funkcji dzeta Riemanna [2] .
1
ζ
(
s
)
=
∑
n
=
1
∞
μ
(
n
)
n
s
.
{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)))=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s))}.}
M
(
n
)
=
∑
a
∈
F
n
e
2
π
i
a
,
{\displaystyle M(n)=\sum _{a\in {\mathcal {F))_{n))e^{2\pi ia},}
gdzie
F
n
{\displaystyle {\mathcal {F))_{n))
oznacza
n
{\displaystyle n}
-ty ciąg Fareya .
M(n) to wyznacznik
n
{\displaystyle n}
-tej macierzy Redheffera, w której
a
i
j
=
1
,
{\displaystyle a_{ij}=1,}
gdy
j
=
1
{\displaystyle j=1}
lub
i
{\displaystyle i}
dzieli
j
,
{\displaystyle j,}
a pozostałe wyrazy są zerowe.
Osoba
Rok
Granica obliczeń
Mertens
1897
104
von Sterneck
1897
1,5×105
von Sterneck
1901
5×105
von Sterneck
1912
5×106
Neubauer
1963
108
Cohen, Dress
1979
7,8×109
Dress
1993
1012
Lioen, van de Lune
1994
1013
Kotnik, van de Lune
2003
1014
Hurst
2016
1016
↑ Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Mertens Function , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) .
↑ a b c d e f Tadej T. Kotnik Tadej T. , Jan van de J. Lune Jan van de J. , On the Order of the Mertens Function , „Experimental Mathematics”, 13 (4), 2004, s. 473–481, ISSN 1058-6458 [dostęp 2017-11-10] .
↑ a b c d e Greg G. Hurst Greg G. , Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture , „arXiv [math]”, 26 października 2016, arXiv :1610.08551 [dostęp 2017-11-10] .
↑ a b Eric W. E.W. Weisstein Eric W. E.W. , Mertens Conjecture , [w:] MathWorld , Wolfram Research (ang. ) .
↑ J. J. Pintz J. J. , An effective disproof of the Mertens conjecture , 1987 [dostęp 2022-08-12] (ang. ) .
Pintz J., An Effective Disproof of the Mertens Conjecture , „Astérique” 1987, s. 147–148, 325–333, 346. (fr) pojęcia definiujące ciągi ogólne
ciągi liczbowe
typy ciągów przykłady ciągów liczb naturalnych inne przykłady ciągów liczb
twierdzenia powiązane pojęcia