Liczby niewymierne – liczby rzeczywiste niebędące wymiernymi, czyli niebędące ilorazami liczb całkowitych^[1][2], czasem oznaczane różnicą zbiorów: ${\displaystyle \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$^[3]. Przykłady to:

• pierwiastek kwadratowy z dwójki (${\displaystyle {\sqrt {2))}$);
• inne pierwiastki arytmetyczne z liczb naturalnych niebędące liczbami naturalnymi, np. ${\displaystyle {\sqrt {99992))}$^{[potrzebny przypis]};
• liczba pi (π)^[4];
• podstawa logarytmu naturalnego (e)^[5];
• stała Gelfonda-Schneidera ${\displaystyle 2^{\sqrt {2))}$;
• ${\displaystyle {\sqrt {2))^{\sqrt {2))}$^[6];
• ${\displaystyle \log _{2}9}$^[6];
• stała Apéry’ego ${\displaystyle A:=\zeta (3):=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3))))$^[3].

Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej jest nieskończone i nieokresowe^[1]. Przez to przykładem liczby niewymiernej jest też 0,123456789101112131415... – konkatenacja zapisów dziesiętnych kolejnych liczb naturalnych^{[potrzebny przypis]}.

Dzieje badań

Najstarsze opisy niewymierności pochodzą ze starożytnej Grecji^[1], konkretniej od Pitagorejczyków, którzy wykazali niewymierność liczby ${\displaystyle {\sqrt {2))}$^[3]. Zauważyli oni, że przekątna kwadratu o boku 1, możliwa do obliczenia twierdzeniem Pitagorasa, jest niewspółmierna z bokiem^{[potrzebny przypis]}. Potem udowodniono niewymierność innych stałych^[3]:

stała	dowód niewymierności
	data	autor
e	1737	Leonhard Euler
π	1760	Johann Heinrich Lambert
${\displaystyle \zeta (3)}$	1979	Roger Apéry(inne języki)

Własności

• Liczba niewymierna podniesiona do potęgi niewymiernej może być wymierna: ${\displaystyle \exists a,b\in \mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} :a^{b}\in \mathbb {Q} .}$ Przykłady to^[6]:

${\displaystyle {\sqrt {2))^{\log _{2}9}=2^((\frac {1}{2))\log _{2}(3^{2})}=2^{\log _{2}3}=3,}$

${\displaystyle ({\sqrt {2))^{\sqrt {2)))^{\sqrt {2))=({\sqrt {2)))^{({\sqrt {2))^{2})}=({\sqrt {2)))^{2}=2.}$

• Liczba niewymierna do potęgi wymiernej może być wymierna lub nie: ${\displaystyle {\sqrt {2))^{2}=2\in \mathbb {Q} ,{\sqrt {2))^{3}=2{\sqrt {2))\notin \mathbb {Q} }$.

• Zbiór liczb niewymiernych jest gęsty i nieprzeliczalny^[7].
• Twierdzenie Gelfonda-Schneidera mówi o własnościach niektórych potęg z niewymiernymi wykładnikami.
• Każdą liczbę niewymierną można rozwinąć w nieskończony ułamek łańcuchowy; skończone ułamki łańcuchowe przedstawiają liczby wymierne^{[potrzebny przypis]}.
• Liczby niewymierne wypełniają luki w przekrojach Dedekinda zbioru liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ dając w efekcie przestrzeń zupełną^{[potrzebny przypis]}.
• Jako podprzestrzeń linii prostej ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ zbiór liczb niewymiernych jest homeomorficzny z przestrzenią Baire’a, czyli ze zbiorem wszystkich funkcji ${\displaystyle f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }$^{[potrzebny przypis]}.

Zobacz też

• niewspółmierność interteoretyczna