Macierz ortogonalna – macierz kwadratowa
o elementach będących liczbami rzeczywistymi spełniająca równość:
![{\displaystyle A^{T}\cdot A=A\cdot A^{T}=I_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141d57680bb84e83c359b7bebab9a9891ceb2c31)
gdzie
oznacza macierz jednostkową wymiaru
oznacza macierz transponowaną względem
Uogólnieniem pojęcia na macierze zespolone są macierze unitarne, tzn. macierz ortogonalna jest macierzą unitarną o wyrazach rzeczywistych[1].
Macierze ortogonalne wymiaru n × n reprezentują np. przekształcenia ortogonalne (np. obroty, odbicia) n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej[2].
Warunki równoważne ortogonalności macierzy
Niech
Następujące warunki są równoważne:
jest macierzą ortogonalną[3]
- kolumny macierzy
traktowane jako wektory przestrzeni
tworzą bazę ortonormalną[4]
- wiersze macierzy
traktowane jako wektory przestrzeni
tworzą bazę ortonormalną[4]
- kolumny macierzy
traktowane jako wektory przestrzeni
tworzą układ ortonormalny[5]
- wiersze macierzy
traktowane jako wektory przestrzeni
tworzą układ ortonormalny[6]
gdzie
oznacza macierz jednostkową wymiaru
a
oznacza macierz transponowaną względem
[7][8]
gdzie
oznacza macierz jednostkową wymiaru
a
oznacza macierz transponowaną względem
[9]
- dla każdej bazy ortonormalnej
przestrzeni
układ
jest bazą ortonormalną przestrzeni
[10]
- macierz A jest odwracalna i
gdzie
oznacza macierz odwrotną do macierzy
a
oznacza macierz transponowaną względem
[11][12]
gdzie
jest deltą Kroneckera[13]
gdzie
jest deltą Kroneckera[14]
[15]
[16]
Przykłady
Poniżej podano przykłady macierzy ortogonalnych. Łatwo można to sprawdzić, wykonując obliczenia iloczynów skalarnych kolumn (traktowanych jako wektory), że są one wzajemnie ortogonalne; to samo dotyczy wierszy.
- Macierz jednostkowa dowolnego rzędu jest macierzą ortogonalną[24], np.
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0df1bbd611c3587f00ad4c03a383bdd4ee469fc)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&0{,}96\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a40013f2bfbd03379107a2f7dfcfb8c1cb4428d4)
[25][26]
[25][27]
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa802fa085523ff19a5afa3f95fc51e87419ab7f)
[28][29][30][31][32]