Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.
Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz
![{\displaystyle N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa9164ba53aa42cb31e9661e73a8b6977da2c36a)
bowiem kolejne potęgi tej macierzy
są równe:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix)),\;{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix)),\;{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b30e6d6bbdc2d6145e0d154aae91436312e66df)
- Jeśli
jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna
taka, że
nie przekracza stopnia ![{\displaystyle A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a71bf21ad35b8fe05555041d54d1e17eeb0f490)
- Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej
jest postaci
stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
- Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
- Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
- każda wielokrotność
macierzy nilpotentnej
też jest nilpotentna. Każda potęga
macierzy nilpotentnej
też jest nilpotentna.
Niech
będzie macierzą kwadratową stopnia
postaci:
![{\displaystyle N_{k}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f367842d1c35448d21ef1502fdac54b8bec39e20)
tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.
W szczególności
Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{k_{1))&0&\ldots &0\\0&N_{k_{2))&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &N_{k_{r))\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b679b39068fb952553ab10646c507e2b20bc612e)
dla pewnych
Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała[a].
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy |
|
---|
Cechy zależne od bazy |
|
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe |
|
---|
dwuargumentowe |
|
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia |
|
---|