Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że każda macierz kwadratowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych jest pierwiastkiem swojego wielomianu charakterystycznego[1]. Nazwa upamiętnia matematyków: Arthura Cayleya i Williama Hamiltona
Dokładniej; jeżeli jest macierzą oraz jest macierzą identycznościową to wielomian charakterystyczny jest zdefiniowany jako:
gdzie oznacza wyznacznik.
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawienie do wielomianu charakterystycznego daje w rezultacie macierz złożoną z samych zer:
Ważnym wnioskiem z teorii Cayleya-Hamiltona jest fakt, że wielomian minimalny danej macierzy jest dzielnikiem wielomianu charakterystycznego. Jest to bardzo przydatne podczas znajdowania postaci Jordana danej macierzy.
Rozważmy macierz
Wielomian charakterystyczny tej macierzy ma następującą postać:
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że
czyli:
Twierdzenie Cayleya-Hamiltona pozwala obliczać potęgi macierzy o wiele prościej, niż przez bezpośrednie mnożenia.
Biorąc powyższe wyniki
policzmy