Em matemática, o conceito de conjunto de medida zero ou nula é uma formalização da ideia de insignificante.

Na teoria das probabilidades, medida zero indica probabilidade zero.

Mais precisamente falando, se ${\displaystyle (X,{\mathfrak {M)),\nu )}$ é um espaço de medida, um conjunto ${\displaystyle E\in {\mathfrak {M))}$ é dito ter medida zero se: $${\displaystyle \nu (E)=0\,}$$

Um conjunto, por outro lado, é dito ter medida plena em X se o seu complementar em X tiver medida zero.

Em análise real, a medida de Lebesgue possui especial importância e, muitas vezes, usa-se o termo medida zero para indicar medida de Lebesgue zero. Mesmo em contextos de introdução à análise, o conceito de conjunto de medida zero é introduzido sem referências à teoria da medida.

Seja ${\displaystyle Z}$ um conjunto qualquer na reta. Dizemos que ${\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ é uma cobertura de bolas abertas para ${\displaystyle Z}$ se satisfizer as hipóteses:

• ${\displaystyle Z\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }B_{n))$
• ${\displaystyle B_{n}=(a_{n},b_{n})\,}$ são bolas abertas com centro em ${\displaystyle {\frac {a_{n}+b_{n)){2))}$ e raio ${\displaystyle {\frac {b_{n}-a_{n)){2))}$

O comprimento da cobertura ${\displaystyle \{B_{n}\))$ é definido como: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-a_{n})}$$ Note-se que não é necessário que as bolas sejam disjuntas.

Um conjunto ${\displaystyle Z}$ é dito ter medida zero se para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existir uma cobertura de bolas abertas de comprimento menor ou igual a ${\displaystyle \varepsilon }$.

O conjunto dos números inteiros, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ tem medida zero.

Sabe-se que ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ é enumerável, portanto pode ser escrito como: $${\displaystyle \mathbb {Z} =\{x_{j}\}_{j=1}^{\infty ))$$

Fixe um ${\displaystyle \varepsilon >0}$ arbitrário e considere as bolas: $${\displaystyle B_{n}=(x_{j}-\varepsilon 2^{-n-1},x_{j}+\varepsilon 2^{-n-1})}$$ $${\displaystyle l(B_{n})=2\varepsilon \cdot 2^{-n-1}=\varepsilon \cdot 2^{-n))$$ E o comprimento da cobertura ${\displaystyle \{B_{n}\}_{n=1}^{\infty ))$ é: $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }l(B_{n})=\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon \cdot 2^{-n}=\varepsilon \sum _{n=1}^{\infty }2^{-n}=\varepsilon }$$

Observe que, de forma geral, todo conjunto enumerável possui medida de Lebesgue zero.

• Pode-se imitar a demonstração acima para mostrar que a união enumerável de conjuntos de medida zero tem medida zero
• É fácil ver que se ${\displaystyle A\subseteq B\,}$ e B tem medida zero, então A também tem medida zero (esta é a definição de medida completa).
• O lema de Riemann-Lebesgue diz que uma função real limitada é integrável a Riemann se e somente se seus pontos de descontinuidade formam um conjunto de medida zero.

O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração

• Conjunto de Cantor, um exemplo de conjunto não-enumerável na reta com medida zero.
• Medida
• Medida de Lebesgue
• Medida exterior de Lebesgue
• Sigma-álgebra