Em matemática , a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.
Seja
I
=
[
a
1
,
b
1
]
×
[
a
2
,
b
2
]
×
…
×
[
a
n
,
b
n
]
,
a
i
≤
b
i
{\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i))
, então:
μ
∗
(
I
)
=
(
b
1
−
a
1
)
⋅
(
b
2
−
a
2
)
…
(
b
n
−
a
n
)
{\displaystyle \mu ^{*}(I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})}
μ
∗
(
∅
)
=
0
{\displaystyle \mu ^{*}(\emptyset )=0}
μ
∗
(
⋃
j
=
1
∞
E
j
)
≤
∑
j
=
1
∞
μ
∗
(
E
j
)
{\displaystyle \mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }E_{j}\right)\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu ^{*}(E_{j})}
(sub-aditividade )
Em especial:
A
⊆
B
⟹
μ
∗
(
A
)
≤
μ
∗
(
B
)
{\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow \mu ^{*}(A)\leq \mu ^{*}(B)}
(monotonicidade )Se
A
λ
{\displaystyle A_{\lambda ))
é definido como
A
λ
=
{
x
+
λ
:
x
∈
A
}
{\displaystyle A_{\lambda }=\{x+\lambda :x\in A\))
então:
μ
∗
(
A
)
=
μ
∗
(
A
λ
)
{\displaystyle \mu ^{*}(A)=\mu ^{*}(A_{\lambda })}
(invariância por translações )Se
T
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))
é uma transformação linear e
T
A
:=
{
T
x
:
x
∈
A
}
{\displaystyle TA:=\{Tx:x\in A\))
então:
μ
∗
(
T
A
)
=
|
T
|
μ
∗
(
A
)
{\displaystyle \mu ^{*}(TA)=|T|\mu ^{*}(A)}
, onde
|
T
|
{\displaystyle |T|}
é o determinante da transformação.Seja o conjunto elementar
I
=
[
a
1
,
b
1
]
×
[
a
2
,
b
2
]
×
…
×
[
a
n
,
b
n
]
,
a
i
≤
b
i
{\displaystyle I=[a_{1},b_{1}]\times [a_{2},b_{2}]\times \ldots \times [a_{n},b_{n}],~~a_{i}\leq b_{i))
.
Define-se o volume de
I
{\displaystyle I}
como:
vol
(
I
)
=
(
b
1
−
a
1
)
⋅
(
b
2
−
a
2
)
…
(
b
n
−
a
n
)
{\displaystyle {\hbox{vol))(I)=(b_{1}-a_{1})\cdot (b_{2}-a_{2})\ldots (b_{n}-a_{n})}
É claro que qualquer subconjunto de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:
R
n
⊆
⋃
j
=
1
∞
[
−
j
,
j
]
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\subseteq \bigcup _{j=1}^{\infty }[-j,j]^{n))
Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto
E
⊆
R
n
{\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n))
é definida como:
μ
∗
(
E
)
=
inf
{
∑
j
=
1
∞
vol
(
I
j
)
:
⋃
I
j
⊇
E
}
{\displaystyle \mu ^{*}(E)=\inf \left\{\sum _{j=1}^{\infty }{\hbox{vol))(I_{j}):\bigcup I_{j}\supseteq E\right\))
, onde
I
j
{\displaystyle I_{j))
são elementares.O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem
E
{\displaystyle E}
.
A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n))
,
μ
∗
:
P
(
R
n
)
→
R
+
∪
{
∞
}
{\displaystyle \mu ^{*}:P(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ^{+}\cup \{\infty \))
Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.
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