Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n))$

onde as duas propriedades são verificadas:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}a_{n}\,}$ converge
• {b_n} é monótona e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b_{\infty }\neq \pm \infty \,}$

Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência ${\displaystyle (b_{n})}$ é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=c}$ e ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}-c=0}$ onde ${\displaystyle b_{n}-c}$ também uma sequênca decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet.

Então: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}-c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n))$

Somando ${\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n))$ em ambos os lados:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)+c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n))$

onde ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)}$ converge, pelo Critério de Dirichlet e ${\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n))$ converge, pela hipótese,

Logo, ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n))$ também converge.

Exemplos

1) A série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1+1/n)^{n)){n))\,}$ é convergente. Neste caso, defina:

${\displaystyle a_{n}={\frac {(-1)^{n)){n))}$

e

${\displaystyle b_{n}=\left(1-1/n\right)^{n))$

A série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n)){n))\,}$ é convergente pelo teste da série alternada e a sequência ${\displaystyle b_{n}\,}$ é monótona, decrescente e converge para ${\displaystyle e^{-1}\,}$.

2) A série ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1-1/n)^{n)){n))\,}$ é também convergente; é tal como em 1), sendo que ${\displaystyle b_{n}=\left(1+1/n\right)^{n))$ é crescente, convergindo para ${\displaystyle e\,}$.

- Note-se que a natureza de 2) não pode ser justificada pelo teste da série alternada, ao contrário da série do exemplo 1);

de facto, ${\displaystyle {\frac {(-1+1/n)^{n)){n))\,=(-1)^{n}\times {\frac {\left(1-1/n\right)^{n)){n))}$ e, atendendo a que ${\displaystyle \left(1-1/n\right)^{n))$ é monótona decrescente, podemos concluir que ${\displaystyle b_{n}={\frac {\left(1-1/n\right)^{n)){n))}$ também é decrescente, sendo de termos positivos e convergindo para zero.

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