Nedoločeni integral dane funkcije f je družina funkcij F, katerih odvod je enak dani funkciji f. V tem smislu je integriranje inverzna operacija kot odvajanje. Rezultat nedoločenega integrala imenujemo primitivna funkcija.
Določeni integral je povezan s ploščino lika, omejenga z grafom funkcije f. Naj bosta dana pozitivna funkcijafrealne spremenljivke x in interval [a, b] na številski premici. Določeni integral funkcije f je ploščina lika, ki ga omejujejo graf funkcijef, osx ter navpični premicix = a in x = b.
Določeni in nedoločeni integral povezuje osnovni izrek infinitezimalnega računa, ki se imenuje tudi Newton-Leibnizova formula: Ploščino omenjenga lika izračunamo tako, da najprej z nedoločenim integralom izračunamo primitivno funkcijo F, potem pa vanjo vstavimo meji intervala: p = F(b) − F(a).
Osnovni izrek infinitezimalnega računa pravi, da sta si odvajanje in (nedoločeno) integriranje inverzni operaciji: če neko zvezno funkcijo integriramo in nato odvajamo, spet dobimo začetno funkcijo. Pomembna posledica, včasih imenovana drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa, omogoča izračun določenega integrala funkcije s pomočjo njenih nedoločenih integralov.
Izreki
Osnovni izrek infinitezimalnega računa. Naj bo f realna integrabilna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [a, b]. Če je F definirana za x na intervalu [a, b] s predpisom
je F zvezna na intervalu [a, b]. Če je f zvezna v točki x na intervalu [a, b], je Fodvedljiva v točki x, in F ′(x) = f(x).
Drugi osnovni izrek infinitezimalnega računa. Naj bo f realna integrabilna funkcija, definirana na zaprtem intervalu [a, b]. Če je F takšna funkcija, da F ′(x) = f(x) za vsak x na intervalu [a, b] (torej, F je nedoločeni integral funkcije f), potem
Opomba. Če je f zvezna funkcija na intervalu [a, b], je f odvedljiva na intervalu [a, b], in F, definirana z
je nedoločeni integral funkcije f na [a, b]. Nadalje