Gradiênt je v matematiki diferencialna operacija, definirana nad skalarnim ali vektorskim poljem , ki pove, v kateri smeri se polje najbolj spreminja. Gradient se označuje z oznako »grad« ali simbolom
∇
{\displaystyle \nabla \!\,}
nabla ).
Gradient skalarnega polja
Kartezični koordinatni sistem
V trirazsežnem kartezičnem koordinatnem sistemu se gradient zapiše kot:
∇
f
=
(
∂
f
∂
x
,
∂
f
∂
y
,
∂
f
∂
z
)
.
{\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f}{\partial z))\end{pmatrix))\!\,.}
Pri tem je
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )\!\,}
krajevnega vektorja
r
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)\!\,}
∂
{\displaystyle \partial \!\,}
parcialne odvode po vsaki od koordinat.
Splošni krivočrtni koordinatni sistem
Cilindrični koordinatni sistem
V cilindričnem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )\!\,}
∇
f
=
∂
f
∂
r
e
r
+
1
r
∂
f
∂
φ
e
φ
+
∂
f
∂
z
e
z
.
{\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r))\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r)){\frac {\partial f}{\partial \varphi ))\mathbf {e} _{\varphi }+{\frac {\partial f}{\partial z))\mathbf {e} _{z}\!\,.}
Pri tem je
r
=
(
r
,
φ
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(r,\varphi ,z)\!\,}
e
r
{\displaystyle \mathbf {e} _{r}\!\,}
e
φ
{\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\!\,}
e
z
{\displaystyle \mathbf {e} _{z}\!\,}
enotski vektorji v smeri vsake od koordinatnih osi.
Sferni koordinatni sistem
V sfernem koordinatnem sistemu se gradient skalarnega polja
f
(
r
)
{\displaystyle f(\mathbf {r} )\!\,}
∇
f
=
∂
f
∂
r
e
r
+
1
r
∂
f
∂
θ
e
θ
+
1
r
sin
θ
∂
f
∂
φ
e
φ
.
{\displaystyle \nabla f={\frac {\partial f}{\partial r))\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r)){\frac {\partial f}{\partial \theta ))\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta )){\frac {\partial f}{\partial \varphi ))\mathbf {e} _{\varphi }\!\,.}
Pri tem je
r
=
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle \mathbf {r} =(r,\theta ,\varphi )\!\,}
e
r
{\displaystyle \mathbf {e} _{r}\!\,}
e
θ
{\displaystyle \mathbf {e} _{\theta }\!\,}
e
φ
{\displaystyle \mathbf {e} _{\varphi }\!\,}
