Vektorsko polje je funkcija, ki vsaki točki prostora pripiše vektor, pripadajoč neki fizikalni količini. Pojem vektorskega prostora se uporablja v fiziki za opisovanje pojavov, ki vključujejo smer v vsaki točki prostora. Zgledi takšnih pojavov so: gibanje tekočine in sila, ki jo povzroča električno ali magnetno polje. Pogosta je uporaba tudi v modelih pojavov ozračju (hitrost vetra).

Če je prostor evklidski, je pojem vektorskega polja precej lahko razumljiv.

Nekaj enostavnih zgledov

• hitrost pri gibanju kapljevin
• magnetno polje
• električno polje

Posebni primeri vektorskih polj

Vektorsko polje na ploskvi

Če je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} ))\!\,}$ krajevni vektor za katerega velja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} ))=(x,y)\!\,}$, potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {F} ))({\vec {\mathbf {r)} ))=(F_{x}(x,\ y),\ F_{y}(x,\ y))\!\,.}$

Vektorsko polje v prostoru

Če je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} ))\!\,}$ krajevni vektor za katerega velja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {r} ))=(x,y,z)\!\,}$, potem ima pripadajoča funkcija vektorskega polja obliko:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {F} ))({\vec {\mathbf {r} )))=\{F_{x}(x,\ y,\ z),\ F_{y}(x,\ y,\ z),\ F_{z}(x,\ y,\ z)\}\!\,.}$

Gradient skalarnega polja

Vektorsko polje se lahko dobi iz skalarnega polja z uporabo gradienta. Vektorsko polje ${\displaystyle V\!\,}$, ki je določeno nad množico ${\displaystyle S\!\,}$ se imenuje gradientno polje. To je takrat, ko obstaja realna funkcija (skalarno polje) tako, da je:

${\displaystyle V=\nabla f={\bigg (}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))},{\frac {\partial f}{\partial x_{2))},{\frac {\partial f}{\partial x_{3))},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n))}{\bigg )}\!\,.}$

Krivuljni integral po zaprti poti v gradientnem polju je enak 0.

Pretok vektorskega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {F} ))({\vec {\mathbf {r} )))\!\,}$ čez površino ${\displaystyle S\!\,}$ je določen z integralom:

${\displaystyle \Phi _{F}=\iint \limits _{S}((\vec {\mathbf {F} ))\cdot \mathrm {d} {\vec {\mathbf {S} ))}=\iint \limits _{S}{F_{n}\ \mathrm {d} S}\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle F_{n}\!\,}$ – projekcija vektorja polja na pravokotnico na površino,
• ${\displaystyle \mathrm {d} S\!\,}$ – vektorski element površine (vektor enotske pravokotnice pomnožen z ${\displaystyle \mathrm {d} S\!\,}$).

Zgled pretoka vektorskega polja je prostornina tekočine, ki steče skozi površino ${\displaystyle S\!\,}$ pri hitrosti ${\displaystyle F\!\,}$.

Divergenca vektorskega polja je:

${\displaystyle \operatorname {div} \,{\vec {\mathbf {F} ))={\frac {\partial F_{x)){\partial x))+{\frac {\partial F_{y)){\partial y))+{\frac {\partial F_{z)){\partial z))\!\,.}$

Rotor je:

${\displaystyle \operatorname {rot} \;{\vec {\mathbf {F} ))=\left({\frac {\partial F_{z)){\partial y))-{\frac {\partial F_{y)){\partial z))\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x)){\partial z))-{\frac {\partial F_{z)){\partial x))\right){\vec {\mathbf {j} ))+\left({\frac {\partial F_{y)){\partial x))-{\frac {\partial F_{x)){\partial y))\right){\vec {\mathbf {k} ))\!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle {\vec {i))\!\,}$ – enotni vektor na osi x
• ${\displaystyle {\vec {j))\!\,}$ – enotni vektor na osi y
• ${\displaystyle {\vec {k))\!\,}$ – enotni vektor na osi z

Gradient omogoča, da se iz skalarnega polja dobi vektorsko polje:

${\displaystyle \operatorname {grad} f=\left({\frac {\partial f}{\partial x)),{\frac {\partial f}{\partial y)),{\frac {\partial f}{\partial z))\right)\equiv {\frac {\partial f}{\partial x)){\vec {\mathbf {i} ))+{\frac {\partial f}{\partial y)){\vec {\mathbf {j} ))+{\frac {\partial f}{\partial z)){\vec {\mathbf {k} ))\!\,,}$

ali, če se to zapiše z uporabo nable:

${\displaystyle \operatorname {grad} f\equiv \nabla f\!\,.}$

Nekatere značilnosti

• vektorsko polje, ki ima povsod divergenco enako 0, se imenuje solenoidalno vektorsko polje.
• vektorsko polje, ki pa ima rotor enak 0 v katerikoli točki, se imenuje potencialno vektorsko polje (nevrtično). Takšno polje se lahko prikaže kot gradient nekega skalarnega polja (potenciala).
• vektorsko polje, ki ima povsod divergenco in rotor enak 0, se imenuje harmonično polje, njegov potencial pa predstavlja harmonično funkcijo.

Glej tudi

• skalarno polje
• tenzorsko polje
• spinorno polje

Zunanje povezave

• Vektorsko polje na MathWorld (angleško)
• Simulacije vektorskega prostora (dvorazsežna in trirazsežna varianta) (angleško)
• Vektorska polja (angleško)
• Simulacija vektorskega polje okoli dveh nabojev (angleško)
• Simulacije za različne funkcije Arhivirano 2009-04-14 na Wayback Machine. (angleško)
• Vektorska polja (angleško)