Inom matematiken är en fixpunkt till en funktion en punkt som avbildas på sig själv, det vill säga en punkt ${\displaystyle a}$ sådan att ${\displaystyle f(a)=a}$ är en fixpunkt till ${\displaystyle f(x)}$.

För att hitta fixpunkter till en funktion ${\displaystyle f(x)}$ kan man lösa ekvationen ${\displaystyle f(x)=x}$.

Alla funktioner har inte fixpunkter, exempelvis är ${\displaystyle f(x)=x-1}$ fixpunktslös. I det fallet beskriver funktionen en linje som är parallell med linjen ${\displaystyle y=x}$ och linjerna kommer därför aldrig att mötas.

Attraktiva fixpunkter

En attraktiv fixpunkt till en funktion ${\displaystyle f}$ är punkt ${\displaystyle x_{0))$ sådan att för varje ${\displaystyle x}$ i definitionsmängden till ${\displaystyle f}$ som är tillräckligt nära ${\displaystyle x_{0))$ så konvergerar serien:

${\displaystyle x,f(x),f(f(x)),f(f(f(x))),...\,}$

till ${\displaystyle x_{0))$.

Cosinus har en fixpunkt och den är attraktiv. "Tillräckligt nära" i det här fallet innebär alla reella tal. Serien kommer för cosinus att konvergera mot 0,73909... Dock är inte alla fixpunkter attraktiva, till exempel så har funktionen ${\displaystyle f(x)=2x}$ en fixpunkt i ${\displaystyle x_{0}=0}$, men i alla närheter av ${\displaystyle x_{0))$ (förutom just i ${\displaystyle x_{0))$) kommer funktionen att avlägsna sig från ${\displaystyle x_{0))$ istället för att närma sig.

En fixpunkt ${\displaystyle x_{0))$ är garanterat attraktiv om ${\displaystyle f}$ är kontinuerligt deriverbar i en omgivning till ${\displaystyle x_{0))$ och ${\displaystyle |f\;'(x_{0})|<1}$,

Fixpunktssatser

Det finns många fixpunktssater som garanterar att det finns en fixpunkt till en funktion under vissa omständigheter. Exempelvis Brouwers fixpunktssats och Borels fixpunktssats

Relaterade koncept

• Egenvektor
• Idempotent
• Invariant