En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ*) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur . Ils ont été introduits par Norbert Fleury en 1993.

Définition

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Soit un élément e[note 1] tel que en = −1 et tel que (1,e,e2,…,en−1) soit une famille libre : 𝓜ℂn est alors défini comme l’algèbre réelle générée par cette famille[note 2],[1],[2].

Propriétés algébriques

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Sommes directes et produits tensoriels

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Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre

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Sous-algèbres

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Cas particulier : 𝓜ℂ3

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Au XIXe siècle, après que l’idée de représenter les nombres complexes sous la forme géométrique d’un plan 2D a été avancée, les mathématiciens ont cherché à étendre la notion de complexe à l’espace 3D, mais sans succès. C’est finalement en abandonnant l’égalité du nombre de dimensions entre l’algèbre hypercomplexe cherchée et l’espace géométrique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont été découverts. Malgré le succès des quaternions, les recherches d’une algèbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriétés similaires aux opérations géométriques dans l’espace ont continué, plusieurs auteurs arrivant finalement et indépendamment à l’algèbre 𝓜ℂ3[6] ou l’un de ses isomorphes triviaux[7],[note 7].

Voir aussi

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Bibliographie

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Notes et références

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Notes

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  1. À ne pas confondre avec la constante de Néper.
  2. Cette famille libre constitue donc, par définition, une base de l’algèbre hypercomplexe générée.
  3. Le nombre de facteurs étant fini, la somme directe est équivalente au produit direct ×.
  4. Le cas n impair donné dans ce document est erroné.
  5. désigne les nombres complexes déployés, lesquels sont isomorphes à ℝ ⊕ ℝ.
  6. Non démontré ici.
  7. Par simple changement de base (1,h,k) = (1,−e,e2).
  8. L’auteur nomme « nombres tricomplexes » l’isomorphisme de 𝓜ℂ3 qu’il étudie, mais ils ne doivent pas être confondus avec les « nombres tricomplexes » désignant historiquement 3.

Références

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  1. Fleury, Rausch de Traubenberg et Yamaleev 1993, p. 433
  2. Fleury, Rausch de Traubenberg et Yamaleev 1995, p. 120
  3. Rausch de Traubenberg 1997, p. 21
  4. Fleury, Rausch de Traubenberg et Yamaleev 1993, p. 438–441
  5. Rausch de Traubenberg 1997, p. 21[note 4]
  6. Jacobi 2015
  7. Olariu 2000