En arithmétique, un nombre parfait est un entier naturel égal à la moitié de la somme de ses diviseurs ou encore à la somme de ses diviseurs stricts. Plus formellement, un nombre parfait n est un entier tel que σ(n) = 2n où σ(n) est la somme des diviseurs positifs de n. Ainsi 6 est un nombre parfait car ses diviseurs entiers sont 1, 2, 3 et 6, et il vérifie bien 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6, ou encore 6 = 1 + 2 + 3.
Dans le Livre IX de ses Éléments, Euclide, au IIIe siècle av. J.-C., a démontré que si M = 2p − 1 est premier, alors M(M + 1)/2 = 2p–1(2p – 1) est parfait.
Par ailleurs, Leonhard Euler, au XVIIIe siècle, a démontré que tout nombre parfait pair est de la forme proposée par Euclide. La recherche de nombres parfaits pairs est donc liée à celle des nombres de Mersenne premiers (nombres premiers de la forme Mp = 2p − 1, l'entier p étant alors nécessairement premier). La « perfection » d'un tel nombre s'écrit :
Les quatre premiers nombres parfaits sont connus depuis l'Antiquité :
Depuis, le total est passé à 51 nombres parfaits (puisqu'on ne connaît que 51 nombres de Mersenne premiers, le dernier découvert en décembre 2018) sans même que l'on sache, à partir du 47e, s'il n'y a pas des « trous » (des nombres parfaits intermédiaires non encore découverts)[1],[2].
Les sept premiers nombres parfaits pairs sont donnés dans le tableau suivant[3] :
p | Nombre de Mersenne premier Mp | Nombre parfait 2p–1Mp |
---|---|---|
2 | 3 | 6 |
3 | 7 | 28 |
5 | 31 | 496 |
7 | 127 | 8 128 |
13 | 8 191 | 33 550 336 |
17 | 131 071 | 8 589 869 056 |
19 | 524 287 | 137 438 691 328 |
Tout nombre parfait pair se termine par un 6 ou un 8, mais pas forcément en alternance.
En 2000, Douglas Iannucci a démontré que tous les nombres pairs parfaits sont des nombres de Kaprekar en base deux[4].
Les nombres parfaits pairs étant de la forme 2n−1(2n − 1), ce sont des nombres triangulaires (et même hexagonaux) et, en tant que tels, la somme des entiers naturels jusqu'à un certain rang (impair), en l'occurrence 2n − 1. De plus, tous les nombres parfaits pairs, excepté le premier, sont la somme des 2(n−1)/2 premiers cubes impairs. Par exemple :
La somme des inverses des diviseurs d'un nombre parfait pair est égale à 2.
Aujourd'hui, les mathématiciens ignorent si des nombres parfaits impairs existent. Différents travaux ont été entrepris mais aucun ne permet d'affirmer ou d'infirmer leur existence. En 1496, Jacques Lefèvre a affirmé que tout nombre parfait est de la forme décrite par Euclide[5], ce qui impliquerait bien sûr qu'aucun nombre parfait impair n'existe. En 2003, Carl Pomerance a présenté une méthode heuristique qui suggère qu'aucun nombre parfait impair n'existe[6].
Un nombre parfait impair N doit remplir les conditions suivantes[a]:
John Voight a trouvé un nombre impair N = n ⋅ p où n et p sont premiers entre eux, p premier et , alors qu'il faudrait pour que N soit parfait impair ( et ) [18],[19]. Il considère alors comme nombre parfait impair négatif.
Comme on l'a vu précédemment les nombres parfaits pairs ont une forme bien précise et les nombres parfaits impairs sont rares si tant est qu'ils existent. Il existe un certain nombre de propriétés simples à démontrer sur les nombres parfaits :
Si la somme des diviseurs stricts est plus petite que le nombre, ce nombre est dit déficient. Dans le cas où la somme est plus grande, le nombre est dit abondant. Ces termes sont issus de la numérologie grecque. Un couple de nombres dont chacun est la somme des diviseurs stricts de l'autre est dit amical, les cycles plus étendus sont dits sociables. Un entier positif tel que chaque entier inférieur est la somme de diviseurs distincts du premier nombre est dit pratique.