En mathématiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ) constituent une famille d’algèbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension 2n sur ℝ.
Ils ont été introduits par Corrado Segre en 1892.
Les algèbres multicomplexes ℂn se construisent par récurrence, en posant ℂ0 = ℝ comme initialisation.
En supposant l’algèbre ℂn−1|n ≥ 1 déjà construite, on introduit une nouvelle unité imaginaire in ∉ ℂn−1 vérifiant i2
n = −1 et commutant avec les précédentes unités imaginaires i1, …, in−1 : on définit alors ℂn = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12}.
Pour n ≥ 1, 1 et in commutent avec tout nombre de ℂn−1, et Vect(1,in) ∉ ℂn−1 (car in ∉ ℂn−1).
La relation ℂn = {x + y in | (x,y) ∈ ℂn−12} peut donc se réécrire sous la forme du produit tensoriel d'algèbres ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ Vect(1,in).
En outre, puisque i2
n = −1, on a Vect(1,in) ≅ ℂ, d’où ℂn = ℂn−1 ⊗ℝ ℂ.
ℝ étant l’élément neutre de ⊗ℝ, et donc son produit vide, on a donc :
- Le nombre de composantes doublant à chaque rang n et ℂ0 = ℝ étant de dimension 1 sur ℝ, ℂn est de dimension 2n sur ℝ.
- Chaque ℂn est une algèbre de Banach.
- Pour n ≥ 2, par commutativité de l’algèbre, ℂn possède des diviseurs de zéro :
- pour a ≠ b, on a ia−ib ≠ 0, ia+ib ≠ 0 et (ia−ib)(ia+ib) = i2
a−i2
b = 0 ;
- pour a ≠ b, on a iaib−1 ≠ 0, iaib+1 ≠ 0 et (iaib−1)(iaib+1) = i2
ai2
b−1 = 0.
- Pour n ≥ 1, ℂ0, …, ℂn−1 sont des sous-algèbres de ℂn.
- Pour k ≤ n, ℂn est de dimension 2n−k sur ℂk.
- Pour n ≥ 1, chaque unité ik vérifie i2
k = −1, donc ℂn contient n copies du plan complexe.
- Pour n ≥ 2 et a ≠ b, chaque nombre ja,b = iaib = ibia vérifie ja,b2 = 1, donc ℂn contient n(n−1)/2 copies du plan des complexes déployés.
Les cas n ≤ 3 ont des noms consacrés :
- (it) Corrado Segre, The real representation of complex elements and hyperalgebraic entities, Mathematische Annalen, 1892, 40:413–467.
- (en) Griffith Baley Price, An Introduction to Multicomplex Spaces and Functions, Marcel Dekker, New York, 1991.
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Propriétés particulières |
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Exemples |
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