Nato a Leeds e cresciuto a Bridlington con la madre, all'età di 16 anni si trasferisce a Londra.[1] Inizialmente si dedica alla musica, suonando la batteria nei Comanechi, una band noise rock.[2] Successivamente intraprende la carriera di attore.
Nel 2015, Heaton ha debuttato come attore con la serie drammatica del crimine ITV DCI Banks, interpretando il ruolo di Gary McCready. Successivamente è apparso come Riley nella serie poliziesca di ITV Vera.
Heaton è stato legato alla musicista giapponese Akiko Matsuura, con la quale ha avuto un figlio nel 2014, Archie.
Dal 2016 ha una relazione con la sua collega attrice Natalia Dyer, che interpreta in Stranger Things il ruolo di Nancy Wheeler.[4] Ha sostenuto il partito laburista alle elezioni generali del Regno Unito del 2017.
Il 21 ottobre 2017, a Heaton è stato negato l'accesso negli Stati Uniti poiché durante il controllo alla dogana gli sono state trovate tracce di cocaina, cosa che non gli ha permesso di partecipare alla prima di Stranger Things 2. Heaton è stato riportato a Londra e ha dovuto ritirare la domanda di ingresso negli Stati Uniti per non essere arrestato.[5][6]