In matematica, in particolare in algebra lineare, il rango (o caratteristica) di una matrice
a valori in un certo campo è il massimo numero di righe (o colonne) linearmente indipendenti in
.
Il rango di una matrice può essere formulato in numerosi modi equivalenti, ed è una quantità fondamentale in algebra lineare, utile per risolvere i sistemi lineari e studiare le applicazioni lineari. È comunemente indicato con
,
,
, o
, o con le versioni inglesi
o
.
Sia
una matrice, a valori in un campo
. Le seguenti definizioni di rango di
sono tutte equivalenti:
- Il massimo numero di colonne linearmente indipendenti.
- Il massimo numero di righe linearmente indipendenti.
- La dimensione del sottospazio di
generato dalle colonne di
.
- La dimensione del sottospazio di
generato dalle righe di
.
- La dimensione dell'immagine dell'applicazione lineare
da
in
seguente:
![{\displaystyle L_{A}:x\mapsto Ax}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ce6bc0b8449e85e2f1d53f35cba99734bdde9b5)
Si può attribuire un rango anche a una generica applicazione lineare, definendolo come la dimensione dello spazio vettoriale dato dalla sua immagine.
In un'esposizione con fini tendenzialmente generali una definizione di questo genere ha il vantaggio di essere applicabile senza la necessità di fare riferimento ad alcuna matrice che rappresenti la trasformazione. Quando invece ci si trova in un ambito di applicazioni concrete, il calcolo effettivo del rango di una trasformazione ben raramente si può ottenere evitando di operare su una matrice.
In quanto segue,
è una matrice
su un campo
, che descrive una mappa lineare
come sopra.
- Solo la matrice nulla ha rango 0.
- Il rango di
è uguale al rango della sua trasposta.
- Il rango di
è minore o uguale sia di
che di
. In altre parole, è minore o uguale del minimo dei due valori
![{\displaystyle \operatorname {rank} (A)\leq \min\{m,n\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef9b994870fc877408db075aa56ee0aae43d62f7)
è iniettiva se e solo se
ha rango
(in questo caso si dice che
ha rango per colonne massimo).
è suriettiva se e solo se
ha rango
(in questo caso si dice che
ha rango per righe massimo).
- nel caso di una matrice quadrata
(cioè,
), allora
è invertibile se e solo se
ha rango
(e si dice che
ha rango massimo). Questo accade se e solo se
è biettiva.
- Se
è una matrice
, allora il rango del prodotto
è minore o uguale sia del rango di
che del rango di
. In altre parole:
![{\displaystyle \operatorname {rank} (AB)\leq \min\{\operatorname {rank} (A),\operatorname {rank} (B)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45c627c7dc7880da205142760780d54dd35e24e6)
- Come esempio del caso "<", si consideri il prodotto
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix)){\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da2939a2cece7905486de6414e84ab3da27eacc)
- Entrambi i fattori hanno rango 1, ma il prodotto ha rango 0.
- Se
è una matrice
con rango
, allora
ha lo stesso rango di
.
- Se
è una matrice
con rango
, allora
ha lo stesso rango di
.
- Il rango di
è uguale a
se e solo se esistono una matrice
invertibile
e una matrice
invertibile
tali che
![{\displaystyle XAY={\begin{bmatrix}I_{r}&0\\0&0\\\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e98f22bf53429c74e80c81f2246fbf9e0cac2d4f)
- dove
denota la matrice identità
.
- Dall'ultima proprietà si deduce che il rango di una matrice è un invariante completo per matrici equivalenti destra-sinistra.
- Diseguaglianza di Sylvester: se A è una matrice m × n e B è una matrice n × k, allora
![{\displaystyle \operatorname {rank} (A)+\operatorname {rank} (B)-n\leq \operatorname {rank} (AB).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ac4b9f317d53f18b463a2ae6ce1002dc94af10c)
Questa segue dall'applicazione del teorema del rango alla disuguaglianza
![{\displaystyle \dim \operatorname {ker} (AB)\leq \dim \operatorname {ker} (A)+\dim \operatorname {ker} (B).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/749fa2fcae39b139dd63004098ad68a4e7b48dc2)
Il rango di una matrice più la nullità della matrice è uguale al numero di colonne della matrice (questo è il teorema del rango, o "teorema del rango-nullità").
Il rango è un invariante completo per la equivalenza sinistra-destra tra matrici: due matrici
e
hanno lo stesso rango se e solo se esistono due matrici invertibili
e
tali che
.
Il modo più semplice per calcolare il rango di una matrice
è dato dall'algoritmo di Gauss. L'algoritmo trasforma la matrice in una matrice a scalini con lo stesso rango, dato dal numero di righe non nulle, o equivalentemente di pivot. Ciò è vero poiché
, ed eseguire operazioni sulle righe di
equivale a eseguire operazioni sulle colonne di
.
Si consideri ad esempio la matrice
![{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&4&1&3\\-1&-2&1&0\\0&0&2&2\\3&6&2&5\\\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c38af5feaa43c16b46075dc58883491ec95f487)
La seconda colonna è il doppio della prima colonna, e la quarta colonna è uguale alla somma della prima e della terza. La prima e la terza colonna sono linearmente indipendenti, quindi il rango di
è due. Questo può essere confermato dall'algoritmo di Gauss, che produce la seguente matrice a scalini
:
![{\displaystyle A'={\begin{bmatrix}1&2&0&1\\0&0&1&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07b3260c5762e67b5ec179a013f116be51a0eeef)
con due righe non nulle.
Un altro metodo, in alcuni casi più diretto, sfrutta le proprietà del determinante di una matrice quadrata, e in particolare dei determinanti delle sottomatrici quadrate di
, dette minori. Si basa sul fatto che il rango di
è pari al massimo ordine di un minore invertibile di
.
Ad esempio, la matrice
data sopra ha determinante nullo, e quindi può avere rango al massimo 3. Anche tutti i suoi minori
hanno determinante nullo, e quindi può avere rango al massimo 2. Infine, esiste almeno un minore invertibile di ordine 2, ad esempio quello in basso a destra
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2\\2&5\end{bmatrix))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a7746f453e7b4e386d39f33c513ec3d34c3056)
che ha determinante
. Quindi
ha rango esattamente 2. Questo criterio può essere utile ad esempio per verificare rapidamente se il rango di una matrice è superiore o inferiore a un certo valore.
Esistono diverse generalizzazioni del concetto di rango per matrici su anelli arbitrari. In queste generalizzazioni il rango colonna, il rango riga, dimensione dello spazio colonna, dimensione dello spazio riga di una matrice possono essere diversi l'uno dall'altro o non esistere.
Un'altra generalizzazione riguarda le matroidi, entità che generalizzano le matrici.
- (EN) Werner Greub (1981): Linear algebra, 4th edition, Springer Verlag
- (EN) Roger A. Horn, Matrix Analysis, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6.
- (EN) Mike Brookes: Matrix Reference Manual. [1]
- rango, su sapere.it, De Agostini.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- Rango, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Eric W. Weisstein, Matrix Rank, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) Kaw, Autar K. Introduction to Matrix Algebra: Vectors [2] and System of Equations [3]
- (EN) Springer - Lecture 33 - Matrix rank, su link.springer.com.