In analisi matematica il teorema di Lagrange (o del valor medio o dell'incremento finito) è un risultato che si applica a funzioni di variabile reale e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il grafico di una funzione tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la tangente al grafico è parallela alla secante passante per gli estremi.

Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'analisi matematica.

Storia

Un caso speciale di questo teorema fu inizialmente descritto da Parameshvara (1370–1460), dalla Scuola del Kerala in India, nei suoi commenti su Govindasvāmi e Bhāskara II.^[1] Una forma ristretta del teorema fu poi provata da Rolle nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come teorema di Rolle, e fu provato solo per polinomi, senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da Cauchy nel 1823.^[2]

Enunciato

Sia ${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$ una funzione continua nell'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$ e derivabile nell'intervallo aperto ${\displaystyle (a,b)}$. Allora esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$:

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$^[3]

Significato geometrico

Supponiamo di avere una funzione ${\displaystyle f}$ di variabile reale a valori reali definita nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, come nell'immagine. Supponiamo che essa sia continua e che in ogni punto del suo grafico, esclusi ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b)),}$ sia ben definita la retta tangente, quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione ${\displaystyle f}$ sia derivabile in ${\displaystyle (a,b)}$). Tracciamo la retta secante il grafico della funzione, passante per i punti ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b))}$.

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$, come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di ${\displaystyle f}$ nel punto ${\displaystyle (c,f(c))}$ abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b))}$.

Osservazioni

• Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del teorema di Cauchy.

Sia ${\displaystyle g}$ la funzione identità (cioè ${\displaystyle g(x)=x}$, per ogni ${\displaystyle x}$). Applichiamo il teorema di Cauchy a ${\displaystyle f(x)}$ e ${\displaystyle g(x)}$:

${\displaystyle \exists c\in (a,b):{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)))={\frac {f'(c)}{g'(c)))={\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$

Poiché ${\displaystyle g'(x)=1}$ per ogni ${\displaystyle x\in (a,b)}$, si ha che ${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$

• Il teorema di Lagrange è inoltre una generalizzazione del teorema di Rolle.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, derivabile in ${\displaystyle (a,b)}$ e tale che ${\displaystyle f(a)=f(b)}$. Applicando il teorema di Lagrange si ha che

${\displaystyle \exists c\in (a,b):f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a))=0.}$

• Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce ${\displaystyle f(x)=e^{xi))$ per tutti gli ${\displaystyle x}$ reali. In tal caso

${\displaystyle f(2\pi )-f(0)=0=0(2\pi -0),}$

mentre ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ per ogni ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Dimostrazione

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del teorema di Rolle.

Sia ${\displaystyle g}$ la seguente funzione ausiliare:

${\displaystyle g(x)=f(a)+{\frac {f(b)-f(a)}{b-a))(x-a).}$

Si tratta della retta passante per i punti ${\displaystyle (a,f(a))}$ e ${\displaystyle (b,f(b))}$ della figura.

Sia ora ${\displaystyle h}$ la differenza tra le due funzioni ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle h(x)=(f-g)(x)=f(x)-g(x).}$

Si verifica immediatamente che

${\displaystyle h(a)=f(a)-g(a)=0,\qquad h(b)=f(b)-g(b)=0.}$

La funzione ${\displaystyle h}$ è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).

Per il teorema di Rolle, se una funzione è continua in un intervallo ${\displaystyle [a,b]}$, derivabile nell'intervallo aperto ${\displaystyle (a,b)}$ e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto ${\displaystyle c\in (a,b)}$ in cui la sua derivata sia ${\displaystyle 0}$.

Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione ${\displaystyle h}$, dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:

${\displaystyle \exists c\in (a,b)\mid h'(c)=0.}$

Segue che

${\displaystyle h'(c)=f'(c)-g'(c)=0.}$

Ora si osserva che

${\displaystyle g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a)).}$

Quindi

${\displaystyle f'(c)=g'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a))}$

e il teorema è così dimostrato.

Estensioni

Funzioni definite in Rⁿ

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione reale differenziabile su un aperto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n))$, siano ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }$ due punti di ${\displaystyle U}$ tali che il segmento ${\displaystyle [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]=\{t\mathbf {x} +(1-t)\mathbf {y} :t\in [0,1]\}\subseteq U,}$

allora esiste ${\displaystyle \mathbf {\xi } \in [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$ tale che

${\displaystyle f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {D} f(\mathbf {\xi } ),(\mathbf {y} -\mathbf {x} )\mathbf {\rangle } ,}$

dove con ${\displaystyle \mathbf {D} f}$ indichiamo il gradiente di ${\displaystyle f.}$

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

${\displaystyle \varphi (t)=f(\mathbf {x} +t(\mathbf {y} -\mathbf {x} ))}$ con ${\displaystyle t\in [0,1]}$

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

Funzioni a valori in R^m

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m))$. Infatti sebbene applicabile a ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente. In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione reale derivabile su un aperto ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m))$, contenente il segmento ${\displaystyle [\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$, allora:

${\displaystyle \|f(\mathbf {y} )-f(\mathbf {x} )\|\leq \sup _{\mathbf {\mathbf {\xi } } \in U}\left\|\mathbf {D} f(\mathbf {\xi } )\right\|\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|.}$

Esempi di impiego (corollari)

Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua e derivabile definita in un intervallo ${\displaystyle I}$, sia ${\displaystyle f'}$ la derivata di ${\displaystyle f}$. Se ${\displaystyle f'(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ interno ad ${\displaystyle I}$, allora ${\displaystyle f}$ è costante in tale intervallo, cioè:

${\displaystyle f(x)=k,\quad \forall x\in I.}$

Dimostrazione

Prendiamo due punti distinti, ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle I}$.

Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha ))=f^{\prime }(c).}$

Dato che per ipotesi ${\displaystyle f'(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x}$, ne segue che

${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha ))=0}$

e quindi

${\displaystyle f(\beta )=f(\alpha ).}$

Visto che ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi ${\displaystyle f(x)=k}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$ (cioè ${\displaystyle f(x)}$ è costante nell'intervallo).

Funzioni aventi derivata uguale in un intervallo

Siano ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ due funzioni derivabili in un intervallo ${\displaystyle I}$ e sia ${\displaystyle f'(x)=g'(x)}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$. Allora le due funzioni differiscono per una costante ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, cioè

${\displaystyle f(x)=g(x)+c,\quad \forall x\in I.}$

Dimostrazione

Si prenda ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)}$. Per ipotesi si ha ${\displaystyle h'(x)=f'(x)-g'(x)=0}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$. Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione ${\displaystyle h(x)}$ è costante nell'intervallo ${\displaystyle I}$, cioè ${\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)=c}$ per un determinato ${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$, e quindi

${\displaystyle f(x)=g(x)+c,\quad \forall x\in I.}$

Monotonia a partire dalla derivata

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la monotonia di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

Derivata non negativa

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione derivabile in ${\displaystyle I}$. Se ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$, ${\displaystyle \forall x\in I}$, allora per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in I}$, con ${\displaystyle x_{1}<x_{2))$, si ha che ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$.

Dimostrazione

Prendiamo due generici punti ${\displaystyle x_{1))$ e ${\displaystyle x_{2))$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle I}$, con ${\displaystyle x_{1}<x_{2))$.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$ ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (x_{1},x_{2}):{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1))}=f^{\prime }(c).}$

Dato che ${\displaystyle f'(x)\geq 0}$ per ogni ${\displaystyle x\in I}$ si ha che

${\displaystyle {\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1))}\geq 0.}$

Ora, dato che ${\displaystyle x_{1}<x_{2))$, per essere vera la formula appena scritta deve essere ${\displaystyle f(x_{1})\leq f(x_{2})}$ e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti a ${\displaystyle I}$, possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.

Derivata positiva

Sia ${\displaystyle f'(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ appartenente all'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$. Allora per ogni ${\displaystyle x_{1},x_{2))$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle x_{1}<x_{2))$ si ha che ${\displaystyle f(x_{1})<f(x_{2})}$.

Dimostrazione

Prendiamo due generici punti ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti all'intervallo chiuso ${\displaystyle [a,b]}$ con ${\displaystyle \alpha <\beta }$.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha ))=f'(c).}$

Dato che ${\displaystyle f'(x)>0}$ per ogni ${\displaystyle x}$ si ha che

${\displaystyle {\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha ))>0.}$

Ora dato che ${\displaystyle \alpha <\beta }$ per essere vera la formula appena scritta deve essere ${\displaystyle f(\alpha )<f(\beta )}$ e visto che questo vale per ogni ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti ad ${\displaystyle [a,b]}$ possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

Derivata non positiva e derivata negativa

Le relative proprietà sono inverse rispetto a quelle ottenute ai due punti precedenti e si ottengono semplicemente invertendo i segni delle diseguaglianze.

Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata

Se ${\displaystyle f}$ è una funzione continua e derivabile nell'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ e la sua derivata prima ${\displaystyle f'}$ è limitata in ${\displaystyle [a,b]}$, ossia esiste ${\displaystyle k>0:|f'(x)|\leq k}$, si ha che ${\displaystyle f}$ è lipschitziana su ${\displaystyle [a,b]}$.

Dimostrazione

Consideriamo due generici punti ${\displaystyle \alpha }$ e ${\displaystyle \beta }$ appartenenti all'intervallo ${\displaystyle [a,b]}$ tali che ${\displaystyle \alpha <\beta }$.

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, possiamo applicare il teorema di Lagrange a un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che

${\displaystyle \exists c\in (\alpha ,\beta ):{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha ))=f'(c).}$

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

${\displaystyle \left|{\frac {f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha ))\right|\leq k.}$

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.