Uno spazio metrico è un insieme di elementi, detti punti, nel quale è definita una distanza, detta anche metrica. Lo spazio metrico più comune è lo spazio euclideo di dimensione 1, 2 o 3.

Uno spazio metrico è in particolare uno spazio topologico, e quindi eredita le nozioni di compattezza, connessione, insieme aperto e chiuso. Si applicano quindi agli spazi metrici gli strumenti della topologia algebrica, quali ad esempio il gruppo fondamentale.

Qualsiasi oggetto contenuto nello spazio euclideo è esso stesso uno spazio metrico. Molti insiemi di funzioni sono dotati di una metrica: accade ad esempio se formano uno spazio di Hilbert o di Banach. Per questi motivi gli spazi metrici giocano un ruolo fondamentale in geometria e in analisi funzionale.

Definizione

Uno spazio metrico è una struttura matematica costituita da una coppia ${\displaystyle (X,d)}$ di elementi, dove ${\displaystyle X}$ è un insieme e ${\displaystyle d}$ una funzione distanza, detta anche metrica, che associa a due punti ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ di ${\displaystyle X}$ un numero reale non negativo ${\displaystyle d(x,y)}$ in modo che le seguenti proprietà valgano per ogni scelta di ${\displaystyle x,y,z}$ in ${\displaystyle X}$:^[1]

• ${\displaystyle d(x,y)>0\iff x\neq y}$
• ${\displaystyle d(x,y)=0\iff x=y}$
• ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\ }$
• ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$

L'ultima proprietà è detta disuguaglianza triangolare.

Proprietà

Struttura topologica

Uno spazio metrico possiede naturalmente anche una struttura topologica: l'insieme delle palle aperte centrate nei vari punti avente raggio variabile fornisce infatti una sua base topologica.

Esplicitamente, un insieme sarà aperto se è l'unione di un certo numero (finito o infinito) di palle. Uno spazio metrico è perciò, quasi per definizione, uno spazio metrizzabile.

Per una funzione definita in uno spazio metrico sarà possibile dunque parlare di continuità e la definizione generale (usando le controimmagini degli aperti) potrà essere riformulata in funzione di dischi:

${\displaystyle f:(X,d)\to (Y,d')}$ è continua in ${\displaystyle x_{0))$ se per ogni ${\displaystyle r>0}$ esiste un ${\displaystyle \delta (r)>0}$ tale che ${\displaystyle x\in B_{d}(x_{0},\delta (r))}$ implica ${\displaystyle f(x)\in B_{d'}(f(x_{0}),r)}$,

dove ${\displaystyle B_{d))$ (risp. ${\displaystyle B_{d'))$) rappresenta la palla nella metrica ${\displaystyle d}$ (risp. ${\displaystyle d'}$). Scritta in un altro modo, questa definizione dice che:

${\displaystyle f:(X,d)\to (Y,d')}$ è continua in ${\displaystyle x_{0))$ se per ogni ${\displaystyle r>0}$ esiste un ${\displaystyle \delta (r)>0}$ tale che ${\displaystyle d(x,x_{0})<\delta (r)}$ implica ${\displaystyle d'(f(x),f(x_{0}))<r}$.

Tale definizione è già molto vicina a quella usuale per funzioni reali.

Addizionalmente, uno spazio metrico è anche uno spazio uniforme, definendo un sottoinsieme ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle M\times M}$ essere un entourage se e solo se esiste un ${\displaystyle \epsilon >0}$ tale che se ${\displaystyle d(x,y)<\epsilon }$ allora ${\displaystyle (x,y)\in V}$. La struttura uniforme generalizza quella topologica.

È possibile costruire esempi semplici di metriche topologicamente equivalenti ma con strutture uniformi distinte: basta prendere, in ${\displaystyle \mathbb {R} }$, ${\displaystyle d_{1))$ la metrica euclidea e ${\displaystyle d_{2}(x,y)=|e^{x}-e^{y}|}$; allora ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:|x-y|<1\))$ è un entourage nella struttura uniforme data da ${\displaystyle d_{1))$ ma non in quella data da ${\displaystyle d_{2))$. Intuitivamente, la difformità è data dalla distorsione della metrica usuale secondo una funzione non uniformemente continua.

Spazi normati

Uno spazio vettoriale normato

${\displaystyle (M,\|\cdot \|)}$

è in modo naturale anche uno spazio metrico dotato della distanza

${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

Le proprietà della distanza discendono infatti da quelle della norma.

Uno spazio vettoriale munito di una seminorma genera invece una pseudometrica, cioè una funzione che può assegnare distanza nulla a punti diversi, e quindi non uno spazio metrico. Si può ovviare all'inconveniente introducendo la relazione di equivalenza ~, che identifica due punti se e solo se hanno distanza nulla. Passando dunque all'insieme quoziente

${\displaystyle X^{*}=X_{/\sim ))$

e definendo, se ${\displaystyle d}$ è la pseudometrica,

${\displaystyle d^{*}([x],[y])=d(x,y)}$

la funzione ${\displaystyle d^{*))$ risulta essere, oltre che ben definita, proprio una metrica per ${\displaystyle X^{*))$. Il quoziente conserva la topologia che la pseudometrica induce su ${\displaystyle X}$ (esattamente nello stesso modo in cui lo fa una metrica), cioè ${\displaystyle A}$ è aperto in ${\displaystyle X}$ se e solo se ${\displaystyle \pi (A)=[A]}$ (ovvero i punti di A considerati a meno dell'equivalenza) è aperto in ${\displaystyle X^{*))$.

Equivalenze

Una biiezione ${\displaystyle f}$ tra due spazi metrici ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$, ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ si dice

• una isometria se ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=d_{1}(x,y)}$ per ogni ${\displaystyle x,y}$ (${\displaystyle M_{1))$ e ${\displaystyle M_{2))$ sono isometrici).
• una similitudine se ${\displaystyle d_{2}(f(x),f(y))=kd_{1}(x,y)}$ per qualche ${\displaystyle k>0}$, per ogni ${\displaystyle x,y}$ (${\displaystyle M_{1))$ e ${\displaystyle M_{2))$ sono simili).
• una uniformità se è un isomorfismo tra ${\displaystyle M_{1))$ e ${\displaystyle M_{2))$ visti come spazi uniformi.
• un omeomorfismo se è un isomorfismo tra ${\displaystyle M_{1))$ e ${\displaystyle M_{2))$ visti come spazi topologici (${\displaystyle M_{1))$ e ${\displaystyle M_{2))$ sono omeomorfi).

Distanza tra punti e insiemi e tra insiemi

Oltre alla distanza tra punti, in uno spazio metrico si possono introdurre altri concetti accessori, come la distanza tra un punto e un insieme, definita come

${\displaystyle \delta (x,E)=\inf _{y\in E}d(x,y)}$

È ${\displaystyle \delta (x,E)=0}$ se e solo se ${\displaystyle x}$ appartiene alla chiusura di ${\displaystyle E}$. Per questa funzione vale una versione generale della disuguaglianza triangolare, cioè

${\displaystyle \delta (x,E)\leq d(x,y)+\delta (y,E)}$.

Si possono definire inoltre più distanze tra insiemi.

• Una è definita come l'estremo inferiore della distanza tra due punti dei due insiemi:

${\displaystyle d(E,F)=\inf _{x\in E,y\in F}d(x,y)}$

Questa definizione, che è molto intuitiva, si rivela però poco utile, perché è solo una parametrica simmetrica, cioè soddisfa solo la non negatività e l'"auto-distanza" nulla: due insiemi non coincidenti con intersezione non vuota o che si toccano (cioè per esempio ${\displaystyle [1,2)}$ e ${\displaystyle (2,3]}$) hanno distanza nulla.

• Una definizione migliore è stata data da Felix Hausdorff ed è la seguente:

${\displaystyle H(A,B)=\max\{e(A,B),e(B,A)\))$,

dove per evitare notazioni pesanti si è indicato con ${\textstyle e(A,B)=\sup _{x\in A}\delta (x,B)}$ l'eccedenza di ${\displaystyle A}$ su ${\displaystyle B}$; ${\displaystyle H}$ è detta proprio distanza di Hausdorff di ${\displaystyle A}$ da ${\displaystyle B}$. In generale ${\displaystyle H}$ è solo una pseudometrica: la sua restrizione ai sottoinsiemi chiusi dello spazio metrico soddisfa però anche l'ultima proprietà mancante e la rende dunque una metrica su ${\displaystyle P_{f}(X)=\{S\subseteq X:S\,{\mbox{chiuso))\))$, sottoclasse dell'insieme delle parti di ${\displaystyle X}$.

Limitatezza

Lo stesso argomento in dettaglio: Insieme limitato.

Lo spazio metrico è la struttura più povera in cui si può cominciare a parlare di limitatezza di un insieme. Se ${\displaystyle E\subseteq X}$, allora ${\displaystyle E}$ si dice limitato secondo la metrica presente d se esiste un raggio finito M tale che

${\displaystyle E\subset B_{d}(x,M)}$ per qualche ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle X}$.

Ci sono altre definizioni equivalenti, cioè:

• ponendo per definizione ${\textstyle diam(E)=\sup _{x,y\in E}d(x,y)}$ il diametro di ${\displaystyle E}$, se esso è un numero finito;
• se la sua chiusura è limitata.

La nozione è però ovviamente dipendente dalla distanza che si pone sull'insieme ${\displaystyle X}$: se per esempio ${\displaystyle X}$ è uno spazio illimitato con distanza ${\displaystyle d}$, esso ha diametro 1 nella distanza ${\displaystyle d'={d \over 1+d))$.

Spazi metrici prodotto

Se ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n))$ sono spazi metrici con distanze ${\displaystyle g_{1},\dots ,g_{n))$ rispettivamente allora si può definire una metrica nel prodotto cartesiano ${\displaystyle X_{1}\times \dots \times X_{n))$ tra ${\displaystyle {\vec {x))=(x_{1},\dots ,x_{n})}$ e ${\displaystyle {\vec {y))=(y_{1},\dots ,y_{n})}$ come

${\displaystyle (g_{1}\times \dots \times g_{n})({\vec {x)),{\vec {y))):=\sum _{i=1}^{n}{1 \over 2^{i)){g_{i}(x_{i},y_{i}) \over 1+g_{i}(x_{i},y_{i})))$.

La formula può essere estesa anche per prodotti numerabili.

In generale, se ${\displaystyle N}$ è una norma in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$, allora si può definire la metrica normata nel prodotto cartesiano come

${\displaystyle N(d_{1},\dots ,d_{n}){\Big (}(x_{1},\dots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}){\Big )}=N{\Big (}d_{1}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{n}(x_{n},y_{n}){\Big )))$

e la topologia generata è coerente con la topologia prodotto.

Come caso particolare, se ${\displaystyle n=2}$, ${\displaystyle X_{1}=X_{2}=X}$, ${\displaystyle d_{1}=d_{2}=d}$ allora viene fuori che la funzione distanza ${\displaystyle d\colon X\times X\to \mathbb {R} ^{+))$ è uniformemente continua rispetto ogni metrica normata e dunque è una funzione continua rispetto alla topologia prodotto su ${\displaystyle X\times X}$.

Esempi di spazi metrici

• Lo spazio euclideo con la normale nozione di distanza.
• Un insieme qualsiasi con la distanza definita nel modo seguente: la distanza tra due punti è 1 se i punti sono diversi, 0 altrimenti; in questo caso si dice distanza discreta.
• L'insieme delle funzioni continue nell'intervallo [0,1] è metrizzabile con la seguente metrica: date due funzioni f₁, f₂ della variabile x il numero ${\displaystyle d=\max |f_{1}(x)-f_{2}(x)|}$ è la distanza tra esse.
• Un sottoinsieme di uno spazio metrico si può considerare anch'esso in modo naturale uno spazio metrico: basta munirlo della opportuna restrizione della funzione distanza dello spazio di partenza. Quindi qualsiasi sottoinsieme dello spazio euclideo è un esempio di spazio metrico.
• Ogni spazio normato è uno spazio metrico, dove la distanza tra due punti ${\displaystyle x,y}$ è data dalla norma del vettore ${\displaystyle x-y}$. In questi casi si dice che la metrica è indotta dalla norma. Non vale però il viceversa, esistono cioè spazi metrici la cui metrica non può derivare da una norma, come mostra il prossimo esempio.
• L'insieme dei numeri reali, con la distanza data da

${\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|.}$

Questa distanza, diversa da quella standard, non può essere indotta da una norma, in quanto non è invariante per traslazioni (ovvero ${\displaystyle d(x+z,y+z)}$ è in generale diversa da ${\displaystyle d(x,y)}$), mentre tutte le distanze indotte da norme lo sono.

• Se ${\displaystyle (X,d)}$ è uno spazio metrico, allora è possibile definire una nuova metrica ${\displaystyle d_{1))$ su X tale che qualunque coppia di punti di X abbia distanza minore o uguale a 1. Basta infatti prendere

${\displaystyle d_{1}(x,y)={\frac {d(x,y)}{d(x,y)+1)).}$

Si può verificare che ${\displaystyle d_{1))$ è ancora una metrica su X. Inoltre se X è illimitato rispetto alla metrica d, risulta avere diametro 1 nella metrica ${\displaystyle d_{1))$, ovvero risulta limitato nella metrica ${\displaystyle d_{1))$. La nozione di limitatezza di un insieme non è dunque un concetto "assoluto".