In matematica, la dimensione topologica o di Lebesgue è una nozione di dimensione che si applica a qualsiasi spazio topologico.

Come la dimensione di Hausdorff, la dimensione topologica dello spazio euclideo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ è ${\displaystyle n}$. Le due nozioni di dimensione però differiscono per spazi più complicati, come i frattali.

Definizione

Sia ${\displaystyle X}$ uno spazio topologico. Un ricoprimento aperto ${\displaystyle \{U_{i}\))$ di ${\displaystyle X}$ è una collezione di aperti ${\displaystyle U_{i))$ di ${\displaystyle X}$ la cui unione è tutto ${\displaystyle X}$. Un suo raffinamento è un altro ricoprimento aperto ${\displaystyle \lbrace V_{j}\rbrace }$ tale che ogni ${\displaystyle V_{j))$ è contenuto in almeno un ${\displaystyle U_{i))$.

Esempi

Retta reale

Sia ${\displaystyle \{U_{i}\))$ un ricoprimento arbitrario della retta reale ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Ciascun ${\displaystyle U_{i))$ è un aperto ed è quindi unione di intervalli aperti. Si può sempre trovare un raffinamento ${\displaystyle V_{j))$ fatto solo di intervalli aperti. Si può inoltre raffinare ulteriormente questo ricoprimento e fare in modo che questi intervalli si sovrappongano meno possibile, e cioè che tre intervalli non si intersechino mai. Da questa costruzione segue che la retta ha dimensione minore o uguale a ${\displaystyle 1.}$ D'altra parte, la retta è connessa e quindi non può essere descritta come unione disgiunta di piccoli intervalli: non ha cioè dimensione zero. La retta ha quindi dimensione topologica ${\displaystyle 1.}$

Spazi euclidei

Più in generale, lo spazio ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ ha dimensione topologica ${\displaystyle n}$. La nozioni di dimensione di Hamel, topologica e di Hausdorff quindi coincidono per gli spazi vettoriali reali.

Grafi

Un grafo avente un numero finito di vertici e spigoli ha dimensione topologica ${\displaystyle 1.}$

Frattali

L'insieme di Cantor ha dimensione topologica zero. Ha però dimensione di Hausdorff positiva, pari a ${\displaystyle \ln 2/\ln 3}$.

La spugna di Menger ha dimensione topologica uno. La spugna è una curva universale: ogni spazio metrico compatto di dimensione topologica 1 è contenuto in essa.