Nato a Schaffhausen, in Svizzera, Furrer si trasferisce a Vienna nel 1975 per proseguire gli studi con Roman Haubenstock-Ramati (composizione) e Otmar Suitner (direzione dorchestra). Nel 1985 ha cofondato quello che è oggi uno degli ensemble di musica contemporanea leader in Europa, i Klangforum Wien, che ancora conduce.
Premi recenti e onorificenze includono il "Premio musica della città di Vienna" nel 2003 e il Leone d'oro, per il monodramma "FAMA" alla Biennale di Venezia nel 2006. Nel 2014 è stato premiato con il Grand Austrian State Prize. Dal 1991 è professore di composizione presso l'università della musica e dell'arte di Graz.
Il 25º anniversario dei Klangforum Wien è stato celebrato nel 2010 durante il Wittener Tage für neue Kammermusik con l'esecuzione in prima assoluta del lavoro Xenos-Szenen per 8 voci e ensemble.[1]