Nativo di Zanesville (Ohio), trascorse gran parte della sua infanzia in un orfanotrofio, dopo la morte della madre e quando suo padre, Harry Basehart, non fu capace di badare ai suoi quattro figli.
Intenzionato inizialmente a seguire le orme paterne nel giornalismo, il tredicenne Richard iniziò a recitare in piccoli ruoli all'interno della compagnia teatrale cittadina. Dopo aver terminato le scuole superiori, nel 1932 si unì alla Wright Players Stock Company, lavorando contemporaneamente come reporter a Zanesville. A metà degli anni trenta si unì alla compagnia di Jasper DeeterHedgerow Theater Company, nella Rose Valley, recitando per cinque anni in diversi classici del teatro. Alla fine degli anni trenta si spostò a New York in cerca di fortuna nei teatri di Broadway. Nel 1939 conobbe l'attrice Stephanie Klein, che sposò agli inizi del 1940. Dopo la morte della sua prima moglie, sposò l'attrice italiana Valentina Cortese, con cui ebbe un figlio, l'attore Jackie Basehart; la coppia divorziò nel 1960.
Continuò a cercare una svolta nella sua carriera teatrale e nel 1942 si unì alla compagnia teatrale di Margaret Webster, ma il suo percorso artistico cambiò rotta solo nel 1945, grazie alla commedia The Hasty Heart, quando il regista teatrale Bretaigne Windust gli affidò il ruolo principale del soldato scozzese, interpretazione per la quale Basehart vinse il New York Drama Critics Award nel 1945.
Il merito di Basehart in questo periodo della sua carriera cinematografica fu quello di scegliere con molta attenzione i suoi ruoli, evitando personaggi stereotipati in cui potesse essere in seguito identificato.
La prima interpretazione a dargli una certa notorietà fu nella pellicola poliziesca Egli camminava nella notte (1948), diretta dal regista Alfred L. Werker e da un non ancora accreditato Anthony Mann, al fianco di Scott Brady, nella quale Basehart interpretò magistralmente il ruolo di un tecnico elettronico dedito al furto e all'omicidio.
Nei successivi due anni Basehart affrontò diversi ruoli importanti, il più noto dei quali fu nel dramma storico Il regno del terrore (1949) di Anthony Mann, nel quale l'attore interpretò magistralmente il ruolo di Maximilien de Robespierre, responsabile del bagno di sangue che seguì la Rivoluzione francese. Nel 1950 Basehart venne chiamato ad interpretare uno dei ruoli più difficili ed impegnativi della sua carriera nella celebre pellicola drammatica 14ª ora, diretta da Henry Hathaway, al fianco di Debra Paget e Barbara Bel Geddes.
Fu durante le riprese di questa pellicola che sua moglie Stephanie fu colta da un malore che si rivelò essere un tumore cerebrale, del quale morì poco tempo dopo. Dopo aver terminato le riprese del film Basehart lasciò gli Stati Uniti d'America e si trasferì in Italia insieme all'attrice Valentina Cortese, che sposò nel 1951 e da cui ebbe un figlio, Jackie, che diventerà anch'egli attore.
In seguito prese parte alla serie televisiva Viaggio in fondo al mare (1964-1968), all'episodio pilota della serie televisiva Supercar (1982), in cui interpretò Wilton Knight.
Vittima di un attacco cardiaco nell’agosto 1984, fu operato ma non si riprese dall'intervento. Morì il 17 settembre dello stesso anno, all’età di 70 anni.